Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .

Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем , что

не имеют подобных членов.

Получаем

Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то

, или

, .

Найдем значения этих многочленов в точке а.

, .

Итак,

То есть, тогда и только тогда, когда .

Будем говорить, что Q ⁺(a) порождается минимальным соотношением .

Глава 2. Однопорожденные полуполя

Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) – поле;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство.

· (1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .

· (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим

тогда

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

· (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h (a) = 0.

· (4)®(5): Пусть , покажем, что .

Так как h (a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим

Если b ₀≠0, то

Если h ₀=0, то

Так как a ≠0, то

Тогда

Итак, .

· (5)®(1): Пусть , покажем, что Q ⁺(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q ⁺(a) – полуполе. Рассмотрим b Î Q ⁺(a), тогда . b + (‑b)=0. То есть, Q ⁺(a) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q ⁺(a) простое расширение Q ⁺, a – алгебраический элемент над Q ⁺. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) Q ⁺(a) –полуполе;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q ⁺(a) не является полем, а значит Q ⁺(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),

(" hÎ Q ⁺[ a ], h ≠0) h (a)≠0.

То есть, если h (a)=0, то h =0. Пусть h (a)=(x + y)(a)=0. Тогда