Свертка оригиналов.
Сверткой оригиналов и называется функция
.
Функции f (t) и g (t) называются компонентами свертки.
Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем .
Так как при то
. (2.1.1)
Теорема 1. Если и , то
.
∆
Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем
Воспользуемся определением свертки:
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
.
Введем вместо t новую переменную . Тогда
что и требовалось доказать. ▲
Свойство линейности.
Для любых комплексных постоянных и :
∆
Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.
Домножим равенство на α:
Так как , то , то есть
Теорема подобия.
Для любого постоянного a >:
Умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число .
Положим αt=u. Тогда .
Таким образом, при t =0 получаем u=0, при получаем и
|
|
Теорема запаздывания.
для t>τ> 0
Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на ept.
Теорема смещения.
Для a >0 имеет место соотношение:
∆
Из определения изображения имеем:
Теорема упреждения.
При а > 0 имеет место соотношение:
Умножение оригиналов
Дифференцирование оригинала
Если и – оригиналы и , то
(2.7.1)
В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь
.
Тогда по теореме 1
.
Отсюда , что и требовалось доказать.
Применив формулу (2.7.1) дважды, получим
и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.
Дифференцирование изображения
Если , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F (p).
Обобщение:
Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства получим: