Интегрирование оригинала

 

Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f (t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть  и . Из  видно, что

1)

2) .

Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим

,

А отсюда .

Но, по условию теоремы, . Следовательно,  или .

А отсюда и из соотношений  и  следует, что .

 

Интегрирование изображения

 

Если  и  принадлежит множеству оригиналов, то .

Изображения простейших функций

 

Единичная функция Хевисайда.

Имеем:

Так как при , то .

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

.

Экспонента. По теореме смещения

.

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

;

;

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим , где . Тогда при

.

При , поэтому

Отсюда

.

Так как , то

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

Отыскание оригинала по изображению

 

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

.

Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Формула обращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s₀.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.