Гомотетія. Стиск до прямої

1. Знайти число розв’язків системи рівнянь ()

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій (квадрат зі стороною ) та . Члени сім’ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).

Рис.1.3.1

Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв’язків немає.

Якщо коло вписане в квадрат, то з’являються розв’язки. В цьому випадку з теореми Піфагора: .

При система немає розв’язків, при система має 4 розв’язки. Далі зі збільшенням () кожна сторона квадрата має дві спільні точки перетину з колом (всього 8 розв’язків).

При квадрат вписаний в коло, маємо 4 розв’язки. При розв’язків немає. Відповідь: при розв’язків немає, при - 4 розв’язки, при - 8 розв’язків, при - 4 розв’язки, при розв’язків немає.

2. При яких дійсних значеннях система

має 8 різних розв’язків?

Розв’язнання. Побудуємо графіки функцій (ромб зі стороною довжиною ) та . Члени сім’ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).

Рис.1.3.2

Знайдемо значення параметра , при якому коло дотикається до ромба.

З прямокутного трикутника (зі сторонами та 1) знайдемо , тоді з трикутника АВС , звідки .

Зі збільшенням система буде мати 8 розв’язків (8 точок перетину кола з ромбом). А при система буде мати 4 розв’язки (4 точки перетину з ромбом). Отже, . Відповідь:

3. Визначити, при яких система рівнянь

має точно два розв’язки.

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом ). Друге рівняння - об’єднання двох прямих: , . Побудуємо прямі та кола на графіку.

Рис.1.3.3

Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр . З гіпотенуза , . З , тоді , . Остаточно знаходимо . Відповідь: .

4. Для кожного від’ємного числа розв’язати нерівність .

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді . Побудуємо графіки та . Членами сім’ї функцій є гомотетичні півкола (центр гомотетії - точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої .

Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює -2. Тоді , , із : , .

Рис.1.3.4

, звідки

, .

Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа буде проміжок . Відповідь: .

5. Скільки розв’язків в залежності від має рівняння .

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді . Побудуємо графіки функцій (гомотетичні кути з вершиною в точці (2,0)) та . При графіки наведені на рисунку 1.3.5

Рис.1.3.5

З рис.1.3.5 видно, що при спільних точок графіки не мають, рівняння розв’язків немає.

При графіки та наведені на рисунку 1.3.6.

З рис.1.3.6 видно, що при , - 1 розв’язок;

при - 2 точки перетину графіків (2 розв’язки);

при - 3 точки перетину графіків (3 розв’язки);

при - 4 точки перетину графіків (4 розв’язки).

Рис.1.3.6

Відповідь: при , - 1 розв’язок; при - 2 розв’язки; при - 3 розв’язки; при - 4 розв’язки.

6. При яких значеннях криві та мають тільки одну спільну точку?

Розв’язання. Необхідно розв’язати рівняння або . Побудуємо графіки функцій (гомотетичні вітки парабол з центром гомотетії (0,0)) та . ОДЗ рівняння: .

При маємо 1 розв’язок.

Розглянемо випадок дотику двох графіків.

Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці :

, звідси .

Підставляємо в рівняння , тоді , .

Рис.1.3.7

Відповідь: або .

7. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок, більше одного розв’язку, немає розв’язків?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій та .

Рис.1.3.8

Розв’яжемо рівняння на проміжку для того, щоб знайти точку дотику функцій.

Якщо , то , , при .

Таким чином, при - 1 розв’язок, при - точки перетину графіків є (більше одного розв’язку), при - немає точок перетину графіків (немає розв’язків).

Відповідь: при - 1 розв’язок, при - більше одного розв’язку, при немає розв’язків.

Задачі для самостійної роботи

1. При яких с система має хоча б один розв’язок?

Розв’язання. Спростимо нерівність системи. Маємо . Нехай . Тоді . Звідси з урахуванням того, що , одержимо . Запишемо , тобто . Таким чином, початкова система рівносильна такій:

Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею (рис.1.3.9).

Рис.1.3.9

Очевидно система може мати розв’язки, якщо . Тоді рівняння

х ² + у ² = с задає сім’ю гомотетичних кіл з центром в точці О (0; 0). Рисунок підказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ, тобто відстань від точки О до межі півплощини, то система має розв’язки. Маємо . З . Звідси .

Відповідь: .

2. Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?

Розв’язання. При система розв’язків не має. При фіксованому графіком першого рівняння є квадрат з вершинами (а; 0), (0; - а), (-а; 0), (0; а). Таким чином, членами сім’ї є гомотетичні квадрати (центр гомотетії - точка О ( 0; 0)).

Якщо квадрат (рис.1.3.10) знаходиться в колі система розв’язків не має.

Рис.1.3.10

Зі збільшенням а (квадрат "роздувається") розв’язки з’являються лише в той момент, коли квадрат буде вписаним в коло. В цьому випадку (а = 1) розв’язків буде чотири. Далі, при кожна сторона квадрата має дві спільні точки з колом, тоді система буде мати вісім розв’язків. При коло буде вписане в квадрат, тобто розв’язків стане знов чотири. Очевидно при система розв’язків не має.

Відповідь: якщо або , то немає розв’язків; якщо або , то розв’язків чотири; якщо , то розв’язків вісім.

3. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має рівно вісім розв’язків.

Розв’язання. Маємо , де . Розглянемо функції та . Перша з них задає сім’ю гомотетичних півкіл з центром в О ( 0; 0), друга - сім’ю прямих, паралельних вісі абсцис.

З рис.1.3.11 видно, що зі збільшенням радіуса півкола зростає число коренів початкового рівняння. Їх буде рівно вісім, якщо .

Рис.1.3.11

Зауважимо, що а не є радіусом півкола, т. як .

Відповідь: або .

4. Знайти всі а, при яких системи рівносильні.

та

Розв’язання. Перепишемо першу систему в виді де

Перше рівняння системи задає сім’ю паралельних прямих, зображену на рис.1.3.12. Для випадку а > 0 друге рівняння системи задає сім’ю кіл.

Всі розв’язки другої з початкових систем містяться серед розв’язків першої.

Обернена вимога виконується лише тоді, коли кола мають спільні точки тільки з прямою . Відстань між сусідніми прямими дорівнює , тому для радіуса кола знаходимо обмеження . Звідси .

Рис.1.3.12

Оскільки ми розглядаємо випадок а > 0, то значення а = 0 потребує перевірки. Очевидно воно підходить. При а < 0 початкові системи розв’язків не мають, а значить, вони рівносильні.

Відповідь: .

5. При яких додатних значеннях параметрів а та системи рівнянь

та

мають однакове число розв’язків?

Розв’язання. Друга система задає сім’ю паралельних прямих , та сім’ю гомотетичних кіл з центром О_{1 (} 1;

1) (рис.1.3.13). Оскільки за умовою , то , і система має не менше чотирьох розв’язків. Очевидно такою ж властивістю володіє перша з початкових систем.

Рис.1.3.13

Вона рівносильна сукупності наступних двох систем:

або

Оскільки а > 0, то сім’я паралельних прямих (рис.1.3.13) перетинає графік лише в одній точці, а значить, перша система сукупності має тільки один розв’язок. Друга система може мати не більше трьох розв’язків (рис.1.3.14). Тому ми вимагаємо від цієї системи мати рівно три розв’язки.

Рис.1.3.14

Остання умова досягається тоді, коли прямі будуть перетинати криву , в двох точках. Для цього необхідно і достатньо, щоб рівняння при а > 0 мало два кореня, тобто дискримінант квадратного рівняння повинен бути додатним. Маємо . Звідси для а > 0 знаходимо

Тепер залишилося з’ясувати, при яких а друга з даних в умові систем має рівно чотири розв’язки. Розглянемо точку (рис.1.3.13). Якщо радіус кола буде більше або дорівнює О ₁ М, то система очевидно буде мати більше чотирьох розв’язків. Тоді знаходимо , тобто при а > 0 маємо .

Тепер визначимо при яких . Легко встановлюємо, що .

Відповідь: якщо , то ; при інших b вимоги задачі не виконуються.

Зауваження. При фіксованому крива - результат стиску до вісі абсцис кривої в раз. (Іноді для випадку говорять, що крива розтягується від вісі)

6. При кожному фіксованому значенні параметра а розв’язати рівняння .

Розв’язання. Розглянемо функції и . На рис.1.3.15 побудовані графік першої з них, а також графіки шести представників сім’ї прямих відповідно для випадків (Для а = 0 маємо вісь абсцис) Одержаний графічний образ дає повну інформацію про Розв’язання початкового рівняння. Залишилося лише знайти значення та .

Рис.1.3.15

Очевидно шукані значення відповідно для и - це корені рівняння .

Звідси . При запису відповіді необхідно врахувати, що х = 1 - корінь початкового рівняння при будь-якому а.

Відповідь: якщо , то х = 1; якщо , то х = 1 або ;

якщо а = 1, то ; якщо а = - 1, то .

7. Знайти всі натуральні значення b, при кожному з яких вираз має зміст для всіх пар чисел (х; у), де и , для яких вираз також має зміст.

Розв’язання. Оскільки вирази та повинні мати зміст одночасно, то нескладно прийти до формулювання, рівносильного початковому: знайти всі натуральні b, при яких система має розв’язок:

Графіком першої нерівності системи є всі точки координатної площини (х; у), окрім прямої . Інші нерівності задають область, обмежену віткою гіперболи . (На рис.1.3.16 ця область показана штриховою лінією)

Рис.1.3.16

Система має розв’язки, якщо сім’я гіпербол має не більше однієї спільної точки з прямою (одна точка відповідає моменту дотику). Для цього достатньо вимагати, щоб рівняння мало не більше одного кореня. Оскільки , то умова недодатності дискримінанта квадратного рівняння дає шукані значення параметра. Маємо . І так як b - натуральне, знаходимо b= 3, 4,...

Відповідь: b= 3, 4,...

8. При яких значеннях а множина точок, задана нерівністю , є підмножиною множини точок, заданої нерівністю ?

Розв’язання. Графіком нерівності є область, обмежена ромбом (рис.1.3.17).

Рис.1.3.17

Нерівність рівносильна системі . Очевидно при ця система задає необмежену множину точок (рис.1.3.18), яка не може поміститися в середині ромба. Якщо а > 0, то система задає фігуру, зображену на рис.1.3.19.

Задача зводиться до пошуку значень а, при яких ця фігура "стиснеться" до таких розмірів, що поміститься в ромб. Із міркувань симетрії для пошуку шуканих значень параметра достатньо вимагати від рівняння при мати не більше одного кореня. Тоді .

Рис.1.3.18 Рис.1.3.19

Відповідь: .

Дві прямі на площині

В основі ідеї розв’язку задач цього підрозділу лежить питання про дослідження взаємного розташування двох прямих: та . Не будь-яке рівняння виду задає пряму: необхідно ще вимагати, щоб При дослідженні взаємного розташування двох прямих зручно спочатку розглянути випадки, коли коефіцієнти при у дорівнюють нулю (маємо вертикальне положення прямих), потім кожне з рівнянь представити у вигляді

1. Знайти значення , при яких система рівнянь

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильно для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо та , то , .

Прямі паралельні, якщо , звідки

Прямі співпадають, якщо , звідки

Прямі перетинаються, якщо , звідки .

Відповідь: система має єдиний розв’язок при .

2. Покажіть, що система рівнянь

має єдиний розв’язок при всіх значеннях .

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо , то ; якщо , то . Прямі паралельні, якщо , звідки з першого рівняння , розв’язків немає. Отже, співпадати прямі також не можуть.

Відповідь: прямі перетинаються при всіх значеннях .

3. Знайти всі значення , при яких система рівнянь немає розв’язків:

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при задає вертикальні прямі , які перетинають графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо , то ; .

Система немає розв’язків, коли прямі паралельні, тобто

Відповідь: система немає розв’язків при .

4. При яких значеннях система рівнянь

має нескінчену множину розв’язків?

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинають графік першого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв’язок.

Якщо , то . З першого рівняння маємо .

Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто

Відповідь: система має нескінчену множину розв’язків при .

5. Знайти всі пари значень , при кожній з яких система рівнянь

має нескінчену множину розв’язків.

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто

Помножуємо друге рівняння на 2 і додаємо до першого рівняння: . Виражаємо і підставляємо в друге рівняння:

, тоді

Відповідь: або .

6. При яких значеннях існують розв’язки системи рівнянь

які задовольняють одночасно нерівностям ?

Розв’язання. Знаходимо з першого рівняння і підставляємо в друге рівняння: , звідки . За умовою задачі , тобто , звідки .

Тоді . За умовою задачі , тобто , звідки , . Отже, .

Відповідь: .

7. Знайти всі , при яких рівносильні системи рівнянь

та .

Розв’язання. Розглянемо другу систему: . Ця система має єдиний розв’язок при будь-яких (). Для виконання умови рівноправності необхідно, щоб всі чотири прямі, які задаються рівняннями системи, мали спільну точку. Цю точку знайдено, розв’язавши систему

Підставимо знайдені значення в перші рівняння заданих систем:

або .

Перша система при має нескінчено багато розв’язків:

Тому системи рівнянь рівносильні при .

Відповідь: .

8. Числа такі, що система рівнянь

має нескінчено багато розв’язків, причому - один із цих розв’язків. Знайти числа .

Розв’язання. Перепишемо систему у вигляді:

Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто

Так як - один із цих розв’язків системи, то підставимо його в систему:

Тоді

З системи трьох рівнянь знаходимо

або .

Відповідь: або .

9. Знайти всі значення , при кожному з яких для будь-якого значення система

мала б хоча б один розв’язок

Розв’язання. Розглянемо задану систему як систему з двома невідомими та трьома параметрами Якщо та перепишемо задану систему таким чином:

З цієї системи маємо: система має розв’язки, якщо , тобто та при будь-яких значеннях

При перше рівняння визначає вертикальну пряму, друге - невертикальну. Таким чином, при система має розв’язок для будь-яких Аналогічно для .

Необхідно дослідити систему при та . При даних значеннях рівняння системи задають або паралельні або співпадаючі прямі. Випадку перетину прямих відповідає рівняння:

При маємо , , , . При маємо , , , . Таким чином, . Відповідь: .

10. Знайти такі, щоб при будь-яких система рівнянь мала б хоча б один розв’язок:

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді: . При задана система має єдиний розв’язок при будь-яких значеннях . Тому достатньо знайти такі , щоб система мала б розв’язок при .

Маємо , звідси .

Відповідь:

Задачі для самостійної роботи

1. Визначити число розв’язків системи в залежності від значень параметра а.

Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Оскільки коефіцієнт при у в першому рівнянні не дорівнює нулю, то це рівняння задає невертикальну пряму Друге рівняння при задає вертикальну пряму, яка очевидно перетинає графік першого рівняння, що рівносильне початковій системі мати єдиний розв’язок. Якщо , то маємо Прямі паралельні, якщо

Прямі співпадають, якщо

Прямі перетинаються, якщо

Розв’язання першої системи другої: Розв’язання останньої нерівності и

Відповідь: якщо та то система має єдиний Розв’язання (зазначимо, що значення враховано); якщо то розв’язків нескінчене багато; якщо то розв’язків немає.

Зауваження. Розглянута система належить класу систем двох лінійних рівнянь с двома змінними х та у, тобто систем виду

де - деякі числа (параметри).

2. Задані два твердження: а) система має нескінченно багато розв’язків; б) прямі, задані рівняннями та

перетинаються в другій чверті декартової прямокутної системи координат. При яких значеннях а одне з тверджень істинно, а інше - хибне?

Розв’язання. Графіком першого рівняння системи є невертикальна пряма . При система очевидно має єдиний Розв’язання (друге рівняння задає вертикальну прямую). Якщо , то маємо . Звідси система має нескінченно багато розв’язків, якщо