Розділ 3. Застосування похідної

В цьому параграфі наведені задачі, для розв’язання яких використовуються наглядно-графічні міркування, причому при побудові необхідного графічного образу використовується апарат похідної.

1. Скільки розв’язків в залежності від параметра має рівняння ?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: . Маємо

, , , , звідки . Отже,

x	(-¥, - 1)	-1	(-1; - 1/Ö5)	-1/Ö5	(-1/Ö5; 1/Ö5)	1/Ö5	(1/Ö5; 1)	1	(1; +¥)
a^/ (x)	+	0	-	0	+	0	-	0	+
a (x)		0	¯	-16Ö5/125		-16Ö5/125	¯	0

Побудуємо графік функції .

Рис.3.1

Якщо або , то рівняння має 1 розв’язок (положення І та ІV); якщо (положення ІІ та ІІІ), то рівняння має 2 розв’язки; якщо , то рівняння має 3 розв’язки (між положеннями ІІ та ІІІ). Відповідь: якщо або , то 1 розв’язок; якщо , то 2 розв’язки; якщо , то 3 розв’язки.

2. При яких рівняння має три розв’язки? Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: , . Знаходимо похідну: , звідки . Отже,

x	(-¥, 0)	(0;1)	1	(1; +¥)
a^/ (x)	+	+	0	-
a (x)			-3	¯

Побудуємо графік функції .

Рис.3.2

Ті значення , для яких відповідні горизонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будуть шуканими. Отже, .

Відповідь: .

3. При яких рівняння має три розв’язки?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: . Знаходимо похідну:

, звідки , . Отже,

x	(-¥, - 2)	-2	(-2; 0)	(0; +¥)
a^/ (x)	+	0	-	+
a (x)		4/e²	¯

Побудуємо графік функції .

Рис.3.3

Відповідь: .

4. Скільки розв’язків має рівняння на проміжку ?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: . Знаходимо похідну: . Побудуємо графік функції .

Знайдемо значення функції в граничних точках проміжку :

, .

Рис.3.4

З рис.3.4 випливає, що при або рівняння має 1 розв’язок; при рівняння має 2 розв’язки.

Відповідь: якщо або , то 1 розв’язок; якщо , то 2 розв’язки.

5. При яких значеннях всі три корені рівняння дійсні?

Розв’язання. Точка не є коренем рівняння при ні яких значеннях . Тому запишемо , .

Функція спадає на кожному з проміжків та (, а зростає на , причому - точка мінімуму, .

x	(-¥, 2)	(2; 4)	4	(4; +¥)
a^/ (x)	-	-	0	+
a (x)	¯	¯	48

Побудуємо графік функції .

Рис.3.5

Ті значення , для яких відповідні горизонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будуть шуканими. З рисунка видно, що .

Відповідь: .

6. Розв’язати рівняння . При яких значеннях параметра добуток коренів менше найменшого кореня цього рівняння?

Розв’язання. Із заданого рівняння одразу знаходимо , , . Розглянемо функції , , , . Побудуємо графіки цих функцій.

Рис.3.6

Необхідно знайти такі значення параметра, при яких графік лежить нижче

. Шукані значення - це всі значення, менше , де найменший корінь рівняння . Звідси знаходимо, що . Відповідь: .

7. Визначити як розташовані корені рівняння відносно відрізка .

Розв’язання. Запишемо . Точки та не є коренями заданого рівняння ні при яких . Тоді .

Знайдемо похідну

або .

Точка - точка мінімуму, - точка максимуму, , .

Функція спадає на кожному з проміжків та зростає на . Графік функції наведено на рис.3.7.

Рис.3.7

Розташування коренів рівняння відносно проміжку можна визначити, перетинаючи побудований графік горизонтальними прямими. Далі через позначимо менший корінь, а через - більший.