С помощью коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результативный показатель

Кафедра ПМиИОЭ

 

Контрольная работа

По курсу

Эконометрика

(вариант 8)

 

 

Задача 1

В исходной таблице (вариант 8) представлены статистические данные о размерах жилой площади и стоимости квартир:

 

Жилая площадь, х	Цена кв., у
20	15,9
40,5	27
16	13,5
20	15,1
28	21,1
46,3	28,7
45,9	27,2
47,5	28,3
87,2	52,3
17,7	22
31,1	28
48,7	45
65,8	51
21,4	34,4

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о виде уравнения регрессии (линейное, показательное, гиперболическое и т.п.).

2. Построить наиболее подходящее уравнение регрессии.

3. Оценить величину влияния фактора на исследуемый показатель с помощью коэффициента корреляции и детерминации.

4. Оценить качество построенной модели с точки зрения адекватности и точности. Для этого оценить математическое ожидание значений остаточного ряда, проверить случайность уровней остатков ряда, их независимость и соответствие нормальному закону. Для оценки точности использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. С помощью коэффициента эластичности определить силу влияния фактора на результативный показатель.

6. Проверить значимость коэффициента регрессии и провести его интервальную оценку.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличилось на 10 % от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Сделать выводы по полученным результатам.

 

Решение:

Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной (см. Приложение 1), округляя и занося в расчетную таблицу промежуточные результаты.

 

1. Построим поле корреляции:

 

Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Поэтому делаем предположение о линейном виде уравнения регрессии. Нельзя сказать, что прослеживается тесная зависимость, но заметно, что с увеличением размера жилой площади х наблюдается тенденция к увеличению стоимости квартир у. Можно предположить, что связь размера жилой площади и ее стоимости положительная, не очень тесная, и на цену квартир оказывают влияние и другие факторы (район места ее расположения, этаж, наличие коммуникаций, состояние квартиры и т.п.).

2. Построим в соответствии с выбранным линейным видом уравнение регрессии:

 

 

Чтобы определить параметры линейной модели с помощью метода наименьших квадратов, решим систему уравнений на основе исходных и расчетных данных:

 

 

Рассчитав на основе исходных данных необходимые значения (графы 3, 5 таблицы Приложения 1), получаем систему:

 

 

Решив полученную систему уравнений при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MS Excel, находим:

 

b₀ = 9,308595

b₁ = 0,52076

 

Составим уравнение парной линейной регрессии:

 

 

В декартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим график линии регрессии по найденному уравнению (рис.1).

3. Для оценки влияния фактора на исследуемый показатель вычислим линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Используя надстройку приложения MS Excel «Пакет анализа» - инструмент «Корреляция», находим величину линейного коэффициента корреляции.

 

	Столбец 1	Столбец 2
Столбец 1	1
Столбец 2	0,8559571	1

 

По величине коэффициента корреляции , принадлежащей интервалу (0,7; 1), оценим качественную характеристику связи как сильную прямую.

Находим парный коэффициент детерминации:

 

 

Изменение У примерно на 74 % определяется вариацией фактора х, на 26 % - влиянием других факторов. То есть изменения величины стоимости жилой площади на 74% обусловлены колебаниями ее размеров, и на 26 % - колебаниями и изменениями других факторов и условий.

4. Оценим качество построенной модели

Производим расчеты данных для граф 6-10 вспомогательной таблицы (Приложение 1).

Оценим качество построенной модели с точки зрения адекватности. Для этого проверим выполнение следующих требований:

1) Уровни ряда остатков имеют случайный характер. Для проверки выполнения данного требования воспользуемся критерием поворотных точек (пиков).

 

-3,829	-3,4095	-4,145	-4,629	-2,797	-4,7313	-6,0229	-5,7565	-2,4402	3,4693	2,4879	10,3183	7,4092	13,9416
	+	-	+	+	-	-	+	-	+	+	+	+

 

Число поворотных точек р = 8

 

 

Поскольку р > 5, требование считаем выполненным.

2) Математическое ожидание уровня ряда остатков равно нулю.

 

 

Поскольку полученное значение близко к 0, требование считаем выполненным.

3) Дисперсия каждого отклонения одинакова для всех х. Для проверки выполнения данного требования используем критерий Гольдфельда-Квандта. Исходные значения х расположим в возрастающем порядке:

 

Жилая площадь, х	Цена кв., у.
16	13,5
17,7	22
20	15,9
20	15,1
21,4	34,4
28	21,1
31,1	28
40,5	27
45,9	27,2
46,3	28,7
47,5	28,3
48,7	45
65,8	51
87,2	52,3

 

Делим полученную таблицу на 2 равные части

Жилая площадь, х	Цена кв., у	Жилая площадь, х	Цена кв., у
16	13,5	40,5	27
17,7	22	45,9	27,2
20	15,9	46,3	28,7
20	15,	47,5	28,3
21,4	34,4	48,7	45
28	21,1	65,8	51
31,1	28	87,2	52,3

 

По каждой группе строим уравнение регрессии:

 

Жилая площадь, х	Цена кв., у
16	13,5	256	216
17,7	22	313,29	389,4
20	15,9	400	318
20	15,1	400	302
21,4	34,4	457,96	736,16
28	21,1	784	590,8
31,1	28	967,21	870,8
154,2	150	3578,46	3423,16

 

Чтобы определить параметры линейной модели с помощью метода наименьших квадратов, решим систему уравнений:

 

 

Решив полученную систему уравнений при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MS Excel, находим:

 

b₀= 7,01310810173176

b₁= 0,65439846490193

 

Составим уравнение парной линейной регрессии:

 

 

На его основе найдем расчетные значения результативного показателя, а также ряд остатков и остаточные суммы квадратов для первой группы:

 

Жилая площадь, х	Цена кв, у					()2
16	13,5	256	216	17,477	-3,977	15,816529
17,7	22	313,29	389,4	18,5888	3,4112	11,636285
20	15,9	400	318	20,093	-4,193	17,581249
20	15,1	400	302	20,093	-4,993	24,930049
21,4	34,4	457,96	736,16	21,0086	13,3914	179,3296
28	21,1	784	590,8	25,325	-4,225	17,850625
31,1	28	967,21	870,8	27,3524	0,6476	0,4193858
154,2	150	3578,46	3423,16	176,0978	0,0622	267,5637

 

 

Рассчитаем аналогичные параметры для второй группы данных:

 

Жилая площадь, х	Цена кв, у					()2
40,5	27	1640,25	1093,5	28,6765	-1,6765	2,81065225
45,9	27,2	2106,81	1248,48	31,9003	-4,7003	22,0928201
46,3	28,7	2143,69	1328,81	32,1391	-3,4391	11,8274088
47,5	28,3	2256,25	1344,25	32,8555	-4,5555	20,7525803
48,7	45	2371,69	2191,5	33,5719	11,4281	130,60147
65,8	51	4329,64	3355,8	43,7806	7,2194	52,1197364
87,2	52,3	7603,84	4560,56	56,5564	-4,2564	18,116941
381,9	259,5	22452,17	15122,9	259,480	0,0197	258,3216

 

Решив полученную систему уравнений

 

 

при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MS Excel, находим:

 

b₀= 4,49765806824428

b₁= 0,59705785159018

 

Составим уравнение парной линейной регрессии:

 

 

По критерию Гольдфельда-Квандта найдем расчетное значение

 

 

 

(табличные значения критерия Фишера – в Приложении 5).

Поскольку < , то условие гомоскедастичности выполнено.

4) Значения уровней ряда остатков независимы друг от друга. Проверку на отсутствие автокорреляции осуществим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона:

 

 

Поскольку d< d₁ 0,31<1,08 (табличные значения критерия – в Приложении 2), то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается, и имеется значительная автокорреляция.

5) Уровни ряда остатков распределены по нормальному закону. Проверку выполнения требования проведем по RS-критерию:

 

 

Для объема генеральной совокупности, равного 14, и уровня вероятности ошибки в 5 %, табличные значения нижней и верхней границ RS-критерия равны соответственно 2,92 и 4,09 (табличные значения критерия – в Приложении 3). Поскольку рассчитанное значение критерия не попадает в интервал табличных значений, гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Оценим качество построенной модели с точки зрения точности. Для этого используем среднюю относительную ошибку аппроксимации, рассчитав данные для графы 11 вспомогательной таблицы (Приложение 1).

 

 

В среднем смоделированные значения стоимости квартир отклоняются от фактических на 19,8 %. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не очень точный, отклонения фактических значений от теоретических заметные.

С помощью коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результативный показатель.

Рассчитаем средние значения фактора и результативного показателя:

 

 

Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при повышении размера жилой площади на 1% от своего среднего значения ее стоимость увеличивается на 0,682% от своего среднего значения.