Построим авторегрессионную модель временного ряда

Для построения авторегрессионной модели 1-го порядка вида

Определим ее параметры с помощью МНК из системы уравнений:

Воспользовавшись надстройкой «Поиск решения» приложения MS Excel, находим коэффициенты модели:

Получаем модель:

Дадим точечный прогноз по полученной авторегрессионной модели на 1 и 2 шага вперед:

Дадим интервальный прогноз среднего и индивидуального значений по полученной авторегрессионной модели с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=36 будет заключено в пределах от 233,17 до 275,99 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 189,44 до 319,72 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=37 будет заключено в пределах от 212,28 до 254,64 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 169,06 до 299,86 относительных единиц.

5. Выводы по полученным результатам:

Проведя сглаживание временного ряда методом простой скользящей средней, по графику сделали предположение о наличии тренда линейного типа. Вычислив параметры модели, получаем уравнение тренда

Величина коэффициента детерминации R²=0,324 свидетельствует о том, что изменение У на 32% обусловлено влиянием времени. Построенную модель на основе коэффициента корреляции можно признать умеренно качественной.

Проверив значимость построенного уравнения по F-критерию, приходим к выводу, что в 95% случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

Точечный прогноз на 1 шаг вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.12.1995 г. в 95% случаев может находиться в интервале от 205 до 335 относительных единиц, а средний размер объема продаж - в интервале от 249 до 292 относительных единиц.

Точечный прогноз на 2 шага вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.01.1996 г. в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 304 относительных единиц, а средний размер объема продаж – внутри интервала от 207 до 304 относительных единиц.

Поскольку построенное ранее уравнение линейного тренда не является значимым, для прогнозирования значений временного ряда построили авторегрессионную модель

Даем точечный прогноз на 1 шаг вперед

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

А такжеточечный прогноз на 2 шага вперед

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

и .

линейный множественный регрессия модель

Приложение 1

Жилая пло щадь, x	Цена квартиры, у						()²		()²
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
20	15,9	400	252,81	318	19,729	-3,829	14,66124	-	-	-0,241
40,5	27	1640,25	729	1093,5	30,4095	-3,4095	11,62469	0,4195	0,175980	-0,126
16	13,5	256	182,25	216	17,645	-4,145	17,18103	-0,7355	0,540960	-0,307
20	15,1	400	228,01	302	19,729	-4,629	21,42764	-0,484	0,234256	-0,307
28	21,1	784	445,21	590,8	23,897	-2,797	7,823209	1,832	3,356224	-0,133
46,3	28,7	2143,69	823,69	1328,81	33,4313	-4,7313	22,3852	-1,9343	3,741517	-0,165
45,9	27,2	2106,81	739,84	1248,48	33,2229	-6,0229	36,27532	-1,2916	1,668231	-0,221
47,5	28,3	2256,25	800,89	1344,25	34,0565	-5,7565	33,13729	0,2664	0,070969	-0,203
87,2	52,3	7603,84	2735,29	4560,56	54,7402	-2,4402	5,954576	3,3163	10,99785	-0,047
17,7	22	313,29	484	389,4	18,5307	3,4693	12,03604	5,9095	34,92219	0,158
31,1	28	967,21	784	870,8	25,5121	2,4879	6,189646	-0,9814	0,963146	0,089
48,7	45	2371,69	2025	2191,5	34,6817	10,318	106,4673	7,8304	61,31516	0,229
65,8	51	4329,64	2601	3355,8	43,5908	7,4092	54,89625	-2,9091	8,462863	0,145
21,4	34,4	457,96	1183,36	736,16	20,4584	13,942	194,3682	6,5324	42,67225	0,405
∑ 536,1	409,5	26030,63	14014,35	18546,06	409,6341	-0,1341	544,4277	17,7706	169,1216	\|2,776\|

Приложение 2

В таблице приведены значения критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% (m - число независимых переменных уравнения регрессии).

Число наблюдений (n)

m = 1

m = 2

m = 3

m = 4

m = 5

d₁

d₂

d₁

d₂

d₁

d₂

d₁

d₂

d₁

d₂

15203050100

1,081,201,351,501,65

1,361,411,491,591,69

0,951,101,281,461,63

1,541,541,571,631,72

0,821,001,211,421,61

1,751,681,651,671,74

0,690,901,141,381,59

1,971,831,741,721,76

0,560,791,071,341,57

2,211,991,831,471,78

Приложение 3

Критические границы отношения R/S

Объем выборки (n)	Нижние границы						Верхние границы
	Вероятность ошибки
	0,000	0,005	0,01	0,025	0,05	0,10	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,000
34567891011121314151617181920	1,7321,7321,8261,8261,8211,8211,8971,8971,9151,9151,9271,9271,9361,9361,9441,9441,9491,949	1,7351,831,982,112,222,312,392,462,532,592,642,702,742,792,832,872,902,94	1,7371,872,022,152,262,352,442,512,582,642,702,752,802,842,882,922,962,99	1,7451,932,092,222,332,432,512,592,662,722,782,832,882,932,973,013,053,09	1,7581,982,152,282,402,502,592,672,742,802,862,922,973,013,063,103,143,18	1,7822,042,222,372,492,592,682,762,842,902,963,023,073,123,173,213,253,29	1,9972,4092,7122,9493,1433,3083,4493,573,683,783,873,954,024,094,154,214,274,32	1,9992,4292,7533,0123,2223,3993,5523,6853,803,914,004,094,174,244,314,374,434,49	2,0002,4392,7823,0563,2823,4713,6343,7773,9034,024,124,214,294,374,444,514,574,63	2,0002,4452,8033,0953,3383,5433,7203,8754,0124,1344,2444,344,444,524,604,674,744,80	2,0002,4472,8133,1153,3693,5853,7723,9354,0794,2084,3254,4314,534,624,704,784,854,91	2,0002,4492,8283,1624,4653,7424,0002,2434,4724,6904,8995,0995,2925,4775,6575,8316,0006,164

Приложение 4

Таблица значений функции распределения Стьюдента (для интервальных оценок)

		Значение доверительной вероятности
		0.9	0.91	0.92	0.93	0.94	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99
Степени свободы	1	6.314	7.026	7.916	9.058	10.579	12.706	15.894	21.205	31.821	63.656
	2	2.920	3.104	3.320	3.578	3.896	4.303	4.849	5.643	6.965	9.925
	3	2.353	2.471	2.605	2.763	2.951	3.182	3.482	3.896	4.541	5.841
	4	2.132	2.226	2.333	2.456	2.601	2.776	2.999	3.298	3.747	4.604
	5	2.015	2.098	2.191	2.297	2.422	2.571	2.757	3.003	3.365	4.032
	6	1.943	2.019	2.104	2.201	2.313	2.447	2.612	2.829	3.143	3.707
	7	1.895	1.966	2.046	2.136	2.241	2.365	2.517	2.715	2.998	3.499
	8	1.860	1.928	2.004	2.090	2.189	2.306	2.449	2.634	2.896	3.355
	9	1.833	1.899	1.973	2.055	2.150	2.262	2.398	2.574	2.821	3.250
	10	1.812	1.877	1.948	2.028	2.120	2.228	2.359	2.527	2.764	3.169
	11	1.796	1.859	1.928	2.007	2.096	2.201	2.328	2.491	2.718	3.106
	12	1.782	1.844	1.912	1.989	2.076	2.179	2.303	2.461	2.681	3.055
	13	1.771	1.832	1.899	1.974	2.060	2.160	2.282	2.436	2.650	3.012
	14	1.761	1.821	1.887	1.962	2.046	2.145	2.264	2.415	2.624	2.977
	15	1.753	1.812	1.878	1.951	2.034	2.131	2.249	2.397	2.602	2.947
	16	1.746	1.805	1.869	1.942	2.024	2.120	2.235	2.382	2.583	2.921
	17	1.740	1.798	1.862	1.934	2.015	2.110	2.224	2.368	2.567	2.898
	18	1.734	1.792	1.855	1.926	2.007	2.101	2.214	2.356	2.552	2.878
	19	1.729	1.786	1.850	1.920	2.000	2.093	2.205	2.346	2.539	2.861
	20	1.725	1.782	1.844	1.914	1.994	2.086	2.197	2.336	2.528	2.845
	21	1.721	1.777	1.840	1.909	1.988	2.080	2.189	2.328	2.518	2.831

Приложение 5

Приложение 6

№	Страны	Х₁	Х₃	Х₆	Х₈	Х₉	У
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Россия	55	30	20,4	28	124	84,98	61,1244	23,8556	0,2807
2	Австралия	100	47	71,4	121	87	30,56	37,1498	-6,5898	-0,2156
3	Австрия	93	37	78,7	146	74	38,42	27,7670	10,653	0,2773
4	Азербайджан	20	12,4	12,1	52	141	60,34	59,8539	0,4861	0,0081
5	Армения	20	4,3	10,9	72	134	60,22	56,7572	3,4628	0,0575
6	Белоруссия	72	28	20,4	38	120	60,79	61,0272	-0,2372	-0,0039
7	Бельгия	85	48	79,7	83	72	29,82	30,3919	-0,5719	-0,0192
8	Болгария	65	18	17,3	92	156	70,57	63,9434	6,6266	0,0939
9	Великобритания	67	39	69,7	91	91	34,51	34,2298	0,2802	0,0081
10	Венгрия	73	40	24,5	73	106	64,73	60,0524	4,6776	0,0723
11	Германия	88	35	76,2	138	73	36,63	28,0102	8,6198	0,2353
12	Греция	83	24	44,4	99	108	32,84	46,083	-13,243	-0,4033
13	Грузия	21	36	11,3	55	140	62,64	67,1154	-4,4754	-0,0714
14	Дания	98	38	79,2	89	77	34,07	29,3072	4,76277	0,1398
15	Ирландия	99	31	57	87	102	39,27	42,2326	-2,9626	-0,0754
16	Испания	89	26	54,8	103	72	28,46	36,3877	-7,9277	-0,2786
17	Италия	84	27	72,1	169	118	30,27	33,8748	-3,6048	-0,1191
18	Казахстан	61	19,2	13,4	10	191	69,04	72,2562	-3,2162	-0,0466
19	Канада	98	44	79,9	123	77	25,42	30,3257	-4,9057	-0,193
20	Киргизия	46	23,5	11,2	20	134	53,13	64,7713	-11,6413	-0,2191
21	Нидерланды	86	37	72,4	176	59	28,00	27,7780	0,222	0,0079
22	Португалия	73	27	48,6	150	83	38,79	39,7452	-0,9552	-0,0246
23	США	115	29	100	99	103	32,04	21,2971	10,7429	0,3353
24	Финляндия	62	36	63,9	82	94	38,58	36,4471	2,1329	0,0553
25	Франция	91	36	77,5	84	85	18,51	30,3382	-11,8282	-0,639
26	Чехия	82	45	34,7	65	114	57,62	58,3873	-0,7673	-0,0133
27	Япония	40	20	83,5	60	119	20,80	24,3958	-3,5958	-0,1729
∑		1966	837,4	1385,2	2405	2854	1181,05	1181,05	0	\|4,0665\|
		72,81	31,01	51,3	89,07	105,7	43,74

Приложение 7

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	61,12437668	23,85562332	3,016807918
2	37,14984362	-6,589843625	-0,83335875
3	27,76702963	10,65297037	1,347186151
4	59,85389286	0,486107145	0,061473635
5	56,75723936	3,46276064	0,437904455
6	61,02722122	-0,237221218	-0,029999252
7	30,3918804	-0,571880402	-0,072320614
8	63,94341526	6,626584737	0,838005071
9	34,22980347	0,280196529	0,035433956
10	60,05238208	4,67761792	0,59153662
11	28,01019093	8,619809067	1,090070375
12	46,08296956	-13,24296956	-1,674720249
13	67,11544881	-4,47544881	-0,565970095
14	29,30723012	4,762769875	0,602305028
15	42,23264038	-2,962640379	-0,374658706
16	36,38774388	-7,927743882	-1,002551063
17	33,87478691	-3,604786915	-0,455865251
18	72,25617196	-3,216171959	-0,406720583
19	30,32568691	-4,905686906	-0,62037847
20	64,77131443	-11,64131443	-1,472173209
21	27,77801216	0,22198784	0,028072822
22	39,74521202	-0,955212022	-0,120797145
23	21,29706536	10,74293464	1,35856313
24	36,44711056	2,13288944	0,269727505
25	30,33822718	-11,82822718	-1,495810398
26	58,38731137	-0,767311368	-0,097035025
27	24,39579286	-3,595792864	-0,454727853

Приложение 8

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,758496844
R-квадрат	0,575317462
Нормированный R-квадрат	0,498102455
Стандартная ошибка	12,49675211
Наблюдения	27
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	4654,361827	1163,590457	7,450850349	0,000593913
Остаток	22	3435,713892	156,1688133
Итого	26	8090,075719
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	11,37891037	26,90148347	0,422984494	0,676412608	-44,41135143	67,16917217	-44,41135143	67,16917217
Переменная X 1	-0,140477614	0,136338345	-1,03036027	0,314036187	-0,423226035	0,142270807	-0,423226035	0,142270807
Переменная X 2	0,334073329	0,330603312	1,010496014	0,323243144	-0,351555972	1,01970263	-0,351555972	1,01970263
Переменная X 3	-0,059094847	0,084157252	-0,702195542	0,489920557	-0,233626304	0,11543661	-0,233626304	0,11543661
Переменная X 4	0,35471917	0,138588434	2,559514953	0,017874673	0,06730435	0,64213399	0,06730435	0,64213399

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

№	Страны	Х₉	Х9²	У
1	Россия	124	15376	84,98	51,28526	33,69474	1135,016	0,3965
2	Австралия	87	7569	30,56	36,03197	-5,47197	29,9209	-0,179
3	Австрия	74	5476	38,42	30,67271	7,747288	60,0625	0,202
4	Азербайджан	141	19881	60,34	58,29352	2,046478	4,2025	0,334
5	Армения	134	17956	60,22	55,40777	4,812234	23,1361	0,08
6	Белоруссия	120	14400	60,79	49,63625	11,15375	124,3225	0,1835
7	Бельгия	72	5184	29,82	29,84821	-0,02821	0,0009	-0,001
8	Болгария	156	24336	70,57	64,47729	6,092714	37,0881	0,0863
9	Великобритания	91	8281	34,51	37,68098	-3,17098	10,0489	-0,092
10	Венгрия	106	11236	64,73	43,86474	20,86526	435,5569	0,322
11	Германия	73	5329	36,63	30,26046	6,369538	40,5769	0,1739
12	Греция	108	11664	32,84	44,68924	-11,8492	140,4035	-0,361
13	Грузия	140	19600	62,64	57,88127	4,758729	22,6576	0,076
14	Дания	77	5929	34,07	31,90947	2,160535	4,6656	0,0634
15	Ирландия	102	10404	39,27	42,21574	-2,94574	8,7025	-0,075
16	Испания	72	5184	28,46	29,84821	-1,38821	1,9321	-0,049
17	Италия	118	13924	30,27	48,81175	-18,5418	343,7316	-0,613
18	Казахстан	191	36481	69,04	78,90607	-9,86607	97,4169	-0,143
19	Канада	77	5929	25,42	31,90947	-6,48947	42,1201	-0,255
20	Киргизия	134	17956	53,13	55,40777	-2,27777	5,1984	-0,043
21	Нидерланды	59	3481	28	24,48895	3,511051	12,3201	0,1254
22	Португалия	83	6889	38,79	34,38297	4,407029	19,4481	0,1136
23	США	103	10609	32,04	42,62799	-10,588	112,1481	-0,33
24	Финляндия	94	8836	38,58	38,91773	-0,33773	0,1156	-0,009
25	Франция	85	7225	18,51	35,20747	-16,6975	278,89	-0,902
26	Чехия	114	12996	57,62	47,16275	10,45725	109,4116	0,1815
27	Япония	119	14161	20,8	49,224	-28,424	807,6964	-1,367
			326292				39,0679	\|6,76\|

Приложение 13

№

Дата, t

Объем продаж,

(

)²

1/1/93

178

31684

-17

289

200,0143

-22,0143

484,4401

1/2/93

185

34225

32930

186

-16

256

202,037

-17,037

290,3616

1/3/93

196

38416

36260

189

-15

225

204,0597

-8,05966

64,9636

1/4/93

187

34969

36652

193

-14

196

206,0824

-19,0824

364,0464

1/5/93

197

38809

36839

210

-13

169

208,105

-11,105

123,4321

1/6/93

246

60516

48462

225

-12

144

210,1277

35,87227

1286,6569

1/7/93

231

53361

56826

240

-11

121

212,1504

18,84958

355,3225

1/8/93

244

59536

56364

231

-10

100

214,1731

29,82689

889,8289

1/9/93

219

47961

53436

221

-9

216,1958

2,804202

7,84

1/10/93

199

39601

43581

202

-8

218,2185

-19,2185

369,4084

1/11/93

187

34969

37213

198

-7

220,2412

-33,2412

1104,8976

1/12/93

208

43264

38896

201

-6

222,2639

-14,2639

203,3476

1/1/94

208

43264

213

-5

224,2866

-16,2866

265,3641

1/2/94

223

49729

46384

228

-4

226,3092

-3,30924

10,9561

1/3/94

254

64516

56642

240

-3

228,3319

25,66807

658,9489

1/4/94

243

59049

61722

247

-2

230,3546

12,64538

160,0225

1/5/94

243

59049

247

-1

232,3773

10,62269

112,7844

1/6/94

255

65025

61965

263

234,4

20,6

424,36

1/7/94

292

85264

74460

278

236,4227

55,57731

3089,1364

1/8/94

288

82944

84096

281

238,4454

49,55462

2455,2025

1/9/94

262

68644

75456

261

240,4681

21,53193

463,5409

1/10/94

234

54756

61308

233

242,4908

-8,49076

72,0801

1/11/94

204

41616

47736

219

244,5134

-40,5134

1641,0601

1/12/94

218

47524

44472

217

246,5361

-28,5361

814,5316

1/1/95

230

52900

50140

215

248,5588

-18,5588

344,4736

1/2/95

197

38809

45310

230

250,5815

-53,5815

2870,8164

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

1 2 3 4 5

Практические рекомендации по стилистике документов, образующих деловую переписку

Методы и средства гигиенического обучения и воспитания населения

Анализ дебиторской задолженности

Недостатки речного транспорта

ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА

Индексы переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов

Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть