Множество Эджворта – Парето

10.1. Модель многокритериального выбора

Пусть имеются шкалы (непустые абстрактные множества) Y1,Y2,...,Ym

(m > 1). Они могут быть как конечными, так и бесконечными. На каждом множестве Yi будем считать заданным некоторое бинарное отношение fi, обладающее свойствами иррефлексивности, транзитивности и слабой связности i = 1,2,...,m. Слабая связность отношения fi означает, что для любых двух элементов s,t Yi, s ≠ t, выполняется либо соотношение s f i t, либо соотношение t f i s. Отношение f i можно трактовать как отношение строгого предпочтения на множестве значений i -го критерия. Оно асимметрично.

Введем в рассмотрение декартово произведение . Его элементы называют вариантами. Выбор осуществляется из множества  в соответствии с определенной функцией выбора; он представляет собой некоторое подмножество множества A и обозначается далее Sel (A). Напомним, что однозначное отображение  называют функцией выбора, если для любого подмножества , выполняется включение . По определению функции выбора в случае y′≠y′′ одновременно равенства Sel ({y′, y′′}) ={y′}, Sel ({y′, y′′})={y′′} выполняться не могут.

Заметим, что в общем случае для некоторых A возможно равенство , которое означает, что выбор является пустым. Другими словами, при предъявлении некоторых A вместо реального выбора из этого множества может иметь место «отказ от выбора».

 

10.2. Аксиомы разумного выбора

Сформулируем определенные требования к функциям выбора, которые можно назвать аксиомами разумного выбора. Как будет показано в следующих разделах, при выполнении этих требований всегда имеет место принцип Эджворта—Парето. Тем самым, аксиомы разумного выбора выделяют определенный достаточно широкий класс многокритериальных задач, в которых успешный выбор обязательно должен осуществляться в пределах множества Парето. Это означает, для указанного класса задач оптимальность по Парето является необходимым условием приемлемости выбираемых вариантов. Тогда как за пределами этого класса (т. е. тогда, когда хотя бы одна из аксиом разумного выбора нарушается) наилучший выбор не обязан быть парето-оптимальным.

Аксиома 1. Для любых трех вариантов y′, y′′, y′′′ , удовлетворяющих равенствам Sel ({y′, y′′}) = {y′} и Sel ({y′′, y′′′}) = {y′′}, всегда выполняется Sel ({y′, y′′′}) = {y′}.

Аксиома 1 устанавливает определенную естественную последовательность (логичность) в ходе осуществления выбора. Это свойство на языке бинарных отношений предпочтения носит название транзитивности.

Следует однако заметить, что при определенных обстоятельствах поведение человека, осуществляющего выбор, может оказаться несовместимым с аксиомой 1. Дело в том, что человек не всегда ведет себя разумно! Специалистам в области принятия решений давно известны случаи нарушения некоторыми индивидами свойства транзитивности, когда из трех предлагаемых решений первое предпочитается второму, второе предпочитается третьему, но при выборе из первого и третьего предпочтение отдается не первому, а третьему решению.

Аксиома 2. Для любых двух вариантов y′, y′′ , таких, что

y′ = (),

y′′ = (), ,

всегда выполняется равенство Sel ({y′, y′′}) = {y′}, i =1,2,...,m.

Согласно аксиоме 2 вариант (и только этот вариант), являющийся более предпочтительным по какой-то одной компоненте по сравнению с другим вариантом при прочих равных условиях (т. е. при совпадении всех остальных компонент) обязательно будет выбран из данной пары.

Определение 1. Условимся говорить, что i-й критерий независим по предпочтению от остальных критериев, если из выполнения для некоторых двух вариантов и , s ≠ t, принадлежащих множеству  и связанных соотношением Sel ({a,b}) = {a}, всегда следует равенство Sel ({a′,b′}) = {a′}, в котором варианты  и образованы с помощью произвольных компонент , удовлетворяющих включению a′,b′ .

Утверждение. Если выполнена аксиома 2, то каждый критерий независим по предпочтению от остальных.

Доказательство. Зафиксируем произвольный номер i {1,2,...,m}.

Пусть по условию для некоторых a,b   имеет место равенство Sel ({a,b}) = {a}. Благодаря s ≠ t и слабой связности отношения , могут иметь место лишь два случая: t s или s t. Первый из них на самом деле невозможен, так как тогда на основании аксиомы 2 выполнялось бы равенство Sel ({a,b}) = {b}, противоречащее условиям Sel ({a,b}) = {a} и a ≠ b. Во втором случае согласно той же аксиоме 2 равенство Sel ({a′,b′}) = {a′} всегда будет выполнено для всех a′,b′   из определения 1. Утверждение доказано.

Аксиомы 1−2 накладывают определенные ограничения на функцию выбора в пределах всего множества , тогда как следующая аксиома относится к выбору из фиксированного подмножества вариантов.

Зафиксируем некоторое непустое подмножество , которое будем называть множеством возможных вариантов.

Всюду далее будем считать, что Sel (Y) ≠ . Это означает, что какой-

то выбор из множества возможных вариантов Y обязательно должен быть

произведен. При этом выбранными могут оказаться один, несколько или же бесконечное число вариантов.

Аксиома 3. Для любой пары вариантов y′,y′′ Y, y′ ≠ y′′, таких, что Sel ({y′, y′′}) = {y′}, всегда выполняется y′′ Sel(Y).

Аксиома 3 требует, чтобы вариант, не выбираемый в некоторой паре, не выбирался и из всего множества возможных вариантов Y.

Эта аксиома определенным образом связана с обратным условием Кондорсе [Айзерман и др. 1990], которое формулируется следующим образом:

y′′  Sel (Y) y′′ Sel ({y′, y′′}) для всех y ′ Y.

Заметим, что включение y′′ Sel ({y′, y′′}) в общем случае не исключает возможности y′ Sel ({y′, y′′}).

Очевидно, обратное условие Кондорсе для множества Y может быть

переписано в эквивалентной форме:

y′′ Sel ({y′, y′′}) для некоторого y′ Y  y′′ Sel (Y),            (1)

где y′′ Y. Сравнивая аксиому 3 с импликацией (1) и принимая во внимание, что

Sel ({y′, y′′}) = {y′}, y′ ≠ y′′ y′′ Sel ({y′, y′′}),

можно сделать вывод о том, что выполнение обратного условия Кондорсе влечет справедливость аксиомы 3, но не наоборот.

10.3. Аксиома Парето

Прежде чем формулировать аксиому Парето, введем следующее определение.

Определение 2. Бинарное отношение , заданное на декартовом произведении  при помощи эквивалентности

y′  y′′  [(  или ) для всех i =1,2,...,m] и y′ ≠ y′′,

где , , будем называть отношением Парето.

Аксиома Парето. Для двух любых вариантов y′,y′′ Y, связанных соотношением y′  y′′, всегда имеет место равенство

Sel ({y′, y′′}) = {y′}.

Как видим, аксиома Парето выражает собой определенное правило выбора из двух вариантов, находящихся друг с другом в отношении Парето. Согласно этому правилу если один вариант является более предпочтительным по сравнению с другим по какому-то одному или нескольким компонентам, то при прочих равных условиях (т. е. при совпадении всех остальных компонент данных двух вариантов) выбранным должен оказаться именно тот вариант, у которого имеются более предпочтительные компоненты. С точки зрения здравого смысла такое правило представляется вполне естественным.

Очевидно, из аксиомы Парето следует выполнение аксиомы 1, но не наоборот.

Лемма. Аксиома Парето является следствием аксиом 1 и 2.

Доказательство. Предположим, что для некоторых произвольно выбранных двух вариантов y′,y′′ Y выполняется соотношение y′  y′′. Не уменьшая общности последующего рассмотрения, предположим, что выполнение y′ y′′ означает, что для некоторого 1 l m справедливо

.

Благодаря аксиоме 2 имеем равенства:

,

,

………………………

.

Отсюда, последовательно применяя аксиому 1, получаем

.    (2)

А так как , k = l +1,...,m, то (2) принимает вид требуемого равенства Sel ({y′, y′′}) = {y′}.

10.4. Принцип Эджворта—Парето

Далее понадобятся два понятия, непосредственно связанные с множеством возможных вариантов Y.

Определение 3. Множество парето-оптимальных вариантов (множество Парето) обозначается P(Y) и определяется равенством:

P(Y) = {y* Y| не существует y Y, такого, что y y*}.

Определение 4. Множество недоминируемых вариантов обозначим Ndom(Y) и определим равенством:

Ndom(Y) = {y* Y| не существует y Y, y ≠ y*, такого, что Sel ({y, y*}) = {y}}.

Теорема (принцип Эджворта—Парето). Для любой функции выбора Sel( ), подчиненной аксиомам 1–3, справедливо включение:

Sel(Y) P(Y).

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию выбора Sel (), удовлетворяющую аксиомам 1–3.

Сначала установим справедливость включения:

Z-Sel (Y) Ndom(Y).

С этой целью произвольно выберем вариант y′′  Sel (Y) и предположим противное: y′′ Ndom(Y). Тогда по определению 4 найдется такой вариант y′ Y, что y′ ≠ y′′ и Sel ({y′, y′′}) = {y′}. Благодаря аксиоме 3 последнее равенство влечет y′′ Sel (Y). Это противоречит начальному допущению y′′ Sel (Y). Таким образом, включение (4) доказано.

Теперь проверим включение

Ndom (Y) P(Y).

Для этого произвольно выберем вариант y Ndom (Y). Допустим противное: y P(Y). Отсюда по определению 3 следует, что найдется такой вариант y′ Y, для которого верно соотношение y′ y. В условиях доказываемой теоремы благодаря лемме справедлива аксиома Парето. На основании этой аксиомы из соотношения y′ y вытекает равенство Sel ({y, y′}) = {y′}, причем y ≠ y′. Следовательно, y Ndom (Y). Полученное не совместимо с начальным предположением y Ndom (Y). Таким образом, включение (5) выполнено. Из (4)–(5) немедленно следует (3).

Теорема доказана.

Замечание. Как указано ранее, в (3) считается, что Sel(Y) ≠ .

Теорему 1 можно выразить следующим образом: произвольный выбор из множества возможных вариантов, подчиненный аксиомам 1–3, должен осуществляться в пределах множества Парето.

В целом требования, накладываемые аксиомами 1–3 на характер осуществляемого выбора, можно интерпретировать как разумное поведение лица, принимающего решение (ЛПР) в процессе выбора. Поэтому согласно доказанной теореме принцип Эджворта - Парето всегда выполняется, если поведение ЛПР разумно. А поскольку именно разумное поведение является наиболее распространенным, то этим обстоятельством можно объяснить чрезвычайно широкое и успешное применение «наивного» принципа Эджворта - Парето в принятии решений, теории игр, математической экономике и других областях, когда в любой задаче многокритериального выбора поиск наилучшего решения предлагается ограничить лишь пределами множества Парето.