Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный

Технический университет

Институт управления производственными и

Инновационными программами

Кафедра информатики

Контрольная работа по дисциплине

 «Математика. Часть 2.»

Тема:    “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”

Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL.

Задача 3. Комплексные числа.

Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна

ИУПиИП

Курс: II

Специальность: 80502.65

Шифр: 578030493

Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна

Подпись преподавателя:

Санкт-Петербург

2007

Тема.

Численные методы и расчеты в EXCEL.

Задача 1.

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона.

II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках

x₁  ; x₂  ; x₃; x₄  :

1)   при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL;

2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений

  (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами:

 

x	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50	0.55	0.60
y	0.860	0.819	0.779	0.741	0.705	0.670	0.638	0.606	0.577	0.549
Значения			x1   = 0.149		x2  = 0.240		x3  = 0.430		x4 = 0.560

 

Основные понятия.

 

Цель работы:   научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL.

Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых

точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов).

По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation”, что в переводе значит “ изменение, переделка”.                                                    

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x₀, x_n). Происходит от “экстра…”  и латинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”.

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит  от латинского “approximo”, что значит “приближаюсь”.

Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функцииF (x) используются многочленыP_n (x).  Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен P_n (x), обеспечивающий требуемую интерполяциюе.

Наиболее успешно для интерполяции используется  полином Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящимиузлами используются конечные разности.

Термин  “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен”  и происходит от “поли…” —  часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”, т.е. имя.

Конечной разностью первого порядка называется разность:                                          

Дy_i = yi + 1 - y_i, i = 0,1,...., n – 1

Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких   порядков.

 

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:

P_n (x) = y₀ + (x-x₀) · Дy₀ /1!h + (x-x₀)(x-x₁) · ДІy₀ /2!hІ+....+ (x-x₀)(x-x₁)…..(x-x_n-1) · Дⁿy₀ / n!hⁿ

 

Решение.

Выполнение задания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, что значения x  являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей  (в данном случае их девять).

P_n(x) = P₉(x)= y₀  + (x-x₀) Дy₀ / 1!h + (x-x₀) (x-x₁) ДІy₀ /2!h²+..

..+ (x-x₀) (x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄) (x-x₅) (x-x₆) (x-x₇) (x-x₈) (x-x₉) Д⁹y₀ / 9! h⁹ =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1!  · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20)  · 0,001 / 2! · 0,05 ² +

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25)  · 0,001 / 3! · 0,05 ³ +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)  · (-0,001) / 4! · 0,05 ⁴ +            

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 ⁵ +         

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 ⁶ +                                                                                

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05 +                                                                                              

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 ⁸ +                                                                      

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) (x- 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 ⁹.

Выполнение задания II.

Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.

 

Шаг первый:

Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL:

а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1: N4).

б) Введем номера по порядку в ячейки A5: A14.

в) Введем исходные данные в ячейки B5: C14.

Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шаг второй:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка:

а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy_{0 =} y₁ – y₀, которая  примет вид: =C6–C5;

a.2) копируем эту формулу в ячейки D6: D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6 (т.е. Дy₁ =y₂ - y₁ = 0,779 – 0,819 = -0,040),в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy₂ = y₃ – y₂ = 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13 (т.е. Дy₈  = y₉ – y₈ = 0,549 – 0,577= -0,028)

б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка:

б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5 (т.е. ДІy₀ = Дy₁ - Дy₀ = -0,040 - (-0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6: E12.

В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy₇ = Дy₈ - Дy₇= - 0,028 - (-0,029) = 0,001).

в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка:

для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все                 

остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.

Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”.

Шаг третий:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:

а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x₀/1!h) в ячейку M5 введем формулу   

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. При копировании адрес этой  ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x₀) (x- x₁)/2!hІ = (x-x₀)/1·h · (x-x₁)/ 2·h = a · b,

где     a   коэффициент в ячейке M5, a = (x-x₀)/1h,

b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x₁) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2.

а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов    

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:  

=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2,  в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2 и 

т.д.

Шаг четвертый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:

а.1) для вычисления первого полинома Ньютона, который равен (x-x₀) · Дy₀ / 1!h = (x-x₀) / 1h ·Дy₀, содержимое ячейки M5  надо   умножить на  содержимое  ячейки   D5,  где   хранятся   конечные  разности первого порядка. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5. Знак $ перед номером строки необходим,  т.к.  в полиноме   Ньютона находятся только конечные разности с  индексом  ноль,  т.е.  все конечные разности берутся только из строки с номером 5;

а.2)  для ввода остальных членов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5, в N7 формулу =M7*F$5, в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. до ячейки N13.

Шаг пятый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:

а.1) объединим ячейки A16: M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий

"Сумма коэффициентов полинома”;

а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13). Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома  Ньютона, кроме y₀. При x   = 0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.

Шаг шестой:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления значения полинома:

а.1) объединим ячейки A18: M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий     "Значение  полинома";

а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5.   В  ячейке N18  появится  число   0,861, которое  и  есть  значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149

Шаг седьмой:

Вычисление сумм коэффициентов полинома и значений полинома

при  x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560.

а) в ячейку N2 вводим 0,240. Результат:

в ячейке N16 — (-0,073);      в ячейке N18 — (0.787);

б) в ячейку N2 вводим 0,430. Результат:

в ячейке N16 — (-0,209);      в ячейке N18 — (0,651);

в) в ячейку N2 вводим 0.560. Результат:

в ячейке N16 — (-0,287);      в ячейке N18 — (0,573).

Шаг восьмой:

Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.

Таблицы прилагаются.  Режим формул — “Приложение 1”.  Режим значений — “Приложение 2.