Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (тенденция и предсказание)

затем щелкнем по OK.

б) В окне   “Известные значения y ” введем адрес блока ячеек C3:L3.

в) В окне “Известные значения x ”  введем адрес блока ячеек C2:L2.

г) В окне “Новые значения x ”      укажем адрес блока ячеек C5:F5.

Шаг пятый:

Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.

В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)

в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)

в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)

в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8610

Итоговая сравнительная таблица.

Для сравнения значений функции в точках:

x ₁ = 0,149;

x ₂ = 0,240;

x ₃ = 0,430;

x ₄ = 0,560;

полученных при помощи трех разных способов:

Полинома Ньютона,

Функции ТЕНДЕНЦИЯ,

3  функции ПРЕДСКАЗАНИЕ;

создадим сравнительную таблицу,

* Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.

Вывод: значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01, что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.

Задача 2.

Решение систем уравнений в EXCEL.

Решить заданную систему уравнений:

1) методом обратной матрицы;

Основные понятия.

Уравнение — это   математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).

Матрица — это прямоугольная таблица каких-либо элементов a_ik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной.

Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij  определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“, если эта сумма нечетная.

Итерация —  это повторное применение каких-либо математических операций.  Происходит от латинского “iteratio”,что в переводе значит “повторение”.

1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

а). Рассмотрим матрицы:

— матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных):

         0,1  4,6  7,8

А = 2,8  6,1  2,8

         4,5  5,7  1,2

— матрица неизвестных:

         x₁

X =    x₂

        x₃

— матрица свободных членов:

                9,8

 B = 6,7

             5,8

б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.

По определению: det A = a₁₁ · A₁₁ + a₁₂ · A₁₂  + a_{13 ·}  A₁₃,

где              a₁₁, a₁₂, a₁₃ — элементы первой строки матрицы A,

                   A₁₁, A₁₂, A₁₃ — их алгебраические дополнения.

- если detA = 0,    то обратной матрицы не существует;

 - если detA ≠ 0,  то обратная матрица существует.

Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению : A_ik = (-1)^i+k · M_ik ,

A₁₁ = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A₁₂ = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A₁₃ = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 =>   обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратную матрицу А^-1.

По определению:

          A₁₁ A₂₁ A₃₁

A^-1 = A₁₂ A₂₂ A₃₂       · 1/ detA,

          A₁₃  A₂₃ A₃₃

где А₁₁, …, А₃₃ - алгебраические дополнения матрицы А.

Для нахождения обратной матрицы А^-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А:

A₂₁ = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94     

        5,7 1,2

A₂₂  = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

         4,5 1,2

A₂₃  = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13   

         4,5 5,7

A₃₁ = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

         6,1 2,8

A₃₂ = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

         2,8 2,8

A₃₃   = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 -  12,88 = - 12,24

          2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А^-1, подставив в формулу полученные данные:

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7     0,1800675 - 0,8115543 0,72318786                      A^-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722  0,7290234 0,44933516

A^-1 · A = E,  где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.

A^-1 · A     = 0 1 0  = E

г).  Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).

По определению: X = A^-1 · B,

где B — исходная матрица B (матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543  0,7231879       9,8        0,521737      

X  =  - 0,1925722   0,7290234 - 0,4493352 ·     6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323  0,2557209       5,8        1,019069

Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений:

x₁ = 0,521737

x₂ = 0,391105

x₃  = 1,019069

д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.

1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.

а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица.

б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.

в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8.

г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках A11:C13 появится:

— в режиме формул — =МОБР(А6:C8);

— в режиме значений — массив обратной матрицы.

Шаг третий:

Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов:

а). Выделим ячейки E11:E13.

б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические.

в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13.

г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.

д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках E11:E13 появится:

— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8);

— в режиме значений — компоненты векторов решения x₁ , x₂, x₃.

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.

1.2). Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

1.3). Вывод.

Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы.

Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.

Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные.

2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.

a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения. Получится система вида:

4,5 x₁  + 5,7 x₂ + 1,2 x₃  = 5,8

2,8 x₁ + 6,1 x₂  + 2,8 x₃ = 6,7

0,1 x₁ + 4,6 x₂  + 7,8 x₃    = 9,8

б)  Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.

4,5 x₁ + 5,7 x₂ + 1,2 x₃  = 5,8

x₁ = - 5,7 x₂ / 4,5 - 1,2 x₃ / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8 x₁ + 6,1 x₂ + 2,8 x₃ = 6,7

x₂   = - 2,8 x₁ / 6,1 - 2,8 x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1 x₁ + 4,6 x₂ + 7,8 x₃ = 9,8

x₃ = - 0,1 x₁ / 7,8 - 4,6 x₂ / 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационной форме получили систему:

x₁ =                   - 5,7 x₂ / 4,5 - 1,2 x₃ / 4,5 +  5,8 / 4,5

x₂  = - 2,8 x₁ / 6,1                    - 2,8 x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃ = - 0,1 x₁ / 7,8 - 4,6 x₂ / 7,8                   + 9,8 / 9,7 

в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.

При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x₁, x₂, x₃ в полученной системе являются максимальными по модулю).

г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║ C ║), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы, которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы, т.е. 

                                         ║C║=√Σa_aj² <1     

   В итерационной форме имеем систему:

Вывод: так как второе условие сходимости итерационного процесса невыполнено, то решение данной системы уравнений не может бытьполучено методом простых итераций.

Задача 3.

Комплексные числа.

Даны два комплексных числа, записанные в показательной форме.

z₁ = 3e ^{-(р/4) i}

z₂ = е ^{(р/4) i}

1). Записать эти числа в тригонометрической форме;

2). Найти сумму z₁ + z₂  и произведение z₁ · z₂, переведя их в алгебраическую форму записи;

3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты.

Основные понятия.