2020-01-14
127
Задача 2. Планируется деятельность двух предприятий (s =2) в течение n лет. Начальные средства составляют 
. Средства x, вложенные в предприятие I, приносят к концу года доход 
и возвращаются в размере 
; аналогично, средства x, вложенные в предприятие II, дают доход 
и возвращаются в размере 
. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями I и II, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.
Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.
Будем рассматривать процесс распределения средств как n -шаговый, в котором номер шага соответствует номеру года. Управляемая система — два предприятия с вложенными в них средствами. Система характеризуется одним параметром состояния 
— количеством средств, которые следует перераспределить в начале k -го года. Переменных управления на каждом шаге две: 
и 
— количество средств, выделенных соответственно предприятию I и II. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то 
. Для каждого шага задача становится одномерной. Обозначим 
через 
, тогда 
.
Показатель эффективности k -го шага равен 
. Это—доход, полученный от двух предприятий в течение k -го года.
Показатель эффективности задачи—доход, полученный от двух предприятий в течение n лет—составляет
. (2.5)
Уравнение состояния выражает остаток средств 
после k -го шага и имеет вид
. (2.6)
Пусть 
— условный оптимальный доход, полученный от распределения средств 
между двумя предприятиями за п—k +1 лет, начиная с k -го года до конца рассматриваемого периода. Запишем рекуррентные соотношения для этих функций:
; (2.7)
,
где - определяется из уравнения состояния (2.6).
Задача 3. Решить задачу 2 при следующих условиях: 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Если и 
- средства, выделенные соответственно предприятиям I и II в k -м году, то суммарный доход, полученный от обоих предприятий, равен
,
а уравнение состояния (2.6) принимает вид
.
Основные функциональные уравнения (2.7) запишутся следующим образом:
;
.
Проведем этап условной оптимизации.
4-й шаг. Условный оптимальный доход равен
,
так как линейная относительно 
функция достигает максимума в конце интервала, т.е. при 
.
3-й шаг:
.
Коэффициент при 
отрицателен, поэтому максимум в этой линейной относительно функции достигается в начале интервала, т.е.
; 
.
2-й шаг:
, откуда 
; 
.
1-й шаг:
при 
.
Результат условной оптимизации:
; 
; 
; ;
; ; 
; 
Перейдем к безусловной оптимизации. Полагаем 
; тогда 
, 
. Зная 
, находим 
; используя 
, получаем 
и 
. Аналогично 
, 
. Наконец, 
. Следовательно, средства по годам нужно распределить так:
| Год | ||||
| Предприятие | 1 | 2 | 3 | 4 |
| I | 0 | 0 | 0 | 5120 |
| II | 10000 | 8000 | 6400 | 0 |
При таком распределении средств (10000 руб.) за четыре года будет получен доход, равный 
.
Непрерывные модели, примером которых служит задача 3, не являются типичными в практике распределения ресурсов. В дальнейшем большинство задач будет носить дискретный характер.
