Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу

 

 

2.  Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):

Если варианта а_п имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта

 

 

(«среднее арифметическое» первых п значений варианты а_п).

Действительно, полагая по теореме Штольца

 

 

имеем:

Например, если мы знаем, что , то и

 

 

3.  Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)

 

,

 

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

 

 

будем иметь

 

 

НО                          

так что                    

 

используя следующее утверждение

 

,

 

Второй множитель здесь имеет конечный предел . Если степени многочленов равны k = l, то предел отношения многочленов равен пределу отношения коэффициентов при старших степенях многочленов.

Если k < l, то рассматриваемое отношение стремится к

Если k > l, то рассматриваемое отношение стремится к

в итоге мы получаем

 

Заключение

В данной работе мы рассмотрели теорему Штольца и её применение на практике. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мере облегчает процесс нахождения пределов неопределённых выражений , помогая вычислить искомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.

 

 

Список литературы

 

1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977.

3. Л.Д Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1, М., 1988.