Свойства сходящихся последовательностей

1 2 3 4 5 6

Теорема 1:

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Предположим, что последовательность {x_n} имеет два предела (а ≠ b)

x_n → a, следовательно x_n = a + α_n, где α_n элемент бесконечно малой последовательности;

x_n → b, следовательно x_n = b + β_n, где β_n элемент бесконечно малой последовательности;

Оценим разность данных равенств 0 = a – b + (α_n- β_n₎,

обозначим α_n- β_n = γ_n, γ_n – элемент бесконечно малой последовательности,

следовательно, γ_n = b – a,

а это означает, что все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу b – a, и тогда b – a = 0 по свойству бесконечно малой последовательности,

следовательно, b = a,

следовательно, последовательность не может иметь двух различных пределов.

Теорема 2:

Если все элементы последовательности {x_n} равны С (постоянной), то предел последовательности {x_n}, тоже равен С.

Доказательство:

Из определения предела, следует, С = С + 0.

Теорема 3:

Если последовательности {x_n} и {у_n} сходятся, то и последовательность {x_n+ у_n} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).

Доказательство:

x_n → a, следовательно x_n = a + α_n

у_n → b, следовательно у_n = b + β_n

x_n+ у_n = а + b + (α_n+ β_n₎

обозначим α_n- β_n = γ_n, следовательно x_n+ у_n = а + b + γ_n_, γ_n элемент бесконечно малой последовательности;

следовательно,

Следствие: разность двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, и её предел равен разности их пределов.

Теорема 4:

Если последовательности {x_n} и {у_n} сходятся, то и последовательность {x_n* у_n} также сходится и её предел равен произведению её множителей (пределов).

Доказательство:

x_n → a, следовательно x_n = a + α_n

у_n → b, следовательно у_n = b + β_n

x_n* у_n = (а + α_n)*(b + β_n₎=аb+(а β_n+ bα_n + α_n β_n)

обозначим γ_n= а β_n+ bα_n + α_n β_n, где γ_n элемент бесконечно малой последовательности, получается

x_n* у_n = ab+ γ_n_,

следовательно,

Теорема 5:

Если последовательности {x_n} и {у_n} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ≠ 0, предел частного существует, конечен и равен частному пределов.

Доказательство:

Т.к. последовательность {у_n} сходится к b, то по определению сходящейся последовательности, для любого ε > 0, найдётся N(ε), такой что для всех n > N, будет выполнятся неравенство |b – y_n|< ε.

Тогда положив , видим, что

откуда следует

следовательно

Т.к., согласно условию b ≠ 0, то из последнего неравенства следует, что для всех n > N элементы последовательности {у_n} не равны 0, значит именно с этого номера N можно определить последовательность