Расчет параметров уравнений по отклонениям

 

Осуществляется отбор факторных признаков x₁,x₂,...x_p, оказывающих влияние на y. Исходные данные представлены временными рядами

x_1t,x_2y,...x_pt; y_t.

 

Определяются тенденции изменения временных рядов, т.е. тренды

y_t^c=f(t); x_it^c=f_i(t); i=1,2,…,n.

 

Рассчитываются отклонения выравненных значений переменных от исходных величин

γ_t=y_t-f(t); ε_it=x_it – f_i(t).

 

Выявляется наличие мультиколлинеарности, для чего вычисляются коэффициенты парной корреляции. Устанавливаются периоды запаздывания (временные лаги) во взаимодействии признаков.

После корректировки состава независимых переменных приступают к оцениванию параметров уравнения множественной линейной регрессии

y_t=α₁ε_1t+ α₂ε_2t +... + α_pε_pt. (*).

 

При наличии временного лага L по переменной х_i в уравнение вместо е_it вводится е_it-L.

Коэффициенты б_i рекомендуется определять по методу наименьших квадратов, используя так называемые стандартизованные в_i коэффициенты. Необходимость использования коэффициентов в стандартизованном виде объясняется тем, что в уравнении (*) каждое отклонение является абсолютной величиной, такой же, как и исходные временные ряды зависимой и независимой переменных. Числовые значения отклонений представлены в соответствующих единицах измерения.

Данное обстоятельство не позволяет оценивать сравнительную силу воздействия каждого аргумента на зависимую переменную путем сопоставления коэффициентов регрессии α₁, α₂,…, α_p.

Переход к стандартизованным коэффициентам заключается в замене отклонений γ_t, ε_it новыми переменными, исходя из соотношений

T_γ=γ_t/σ_γt; T_i=ε_it/σ_εit,

 

откуда γ_t=T_γσ_γt; ε_it=T_iσ_εit. Подставив последние выражения в уравнение (*) и поделив левую и правую части на σ_γt, получим:

T_γ=(α₁T₁σ_ε1t /σ_γt)+(α₂T₂σ_ε2t /σ_γt)+…+(α_pT_pσ_εpt /σ_γt).

 

Переменные Т в последнем уравнении являются теперь относительными безразмерными величинами. Замена α_iσ_εit /σ_γt на β_i приводит уравнение к стандартизованному виду

T_γ=β₁T₁+ β₂T₂+…+ β_pT_p,

в котором β_i - стандартизованные коэффициенты регрессии. Они показывают, на сколько среднеквадратических отклонений изменится зависимая переменная, если величина i -го независимого фактора увеличится или уменьшится на одно свое среднеквадратическое отклонение при условии постоянства всех остальных факторов-аргументов.

Так как β_i -коэффициенты являются относительными величинами, то с их помощью можно сделать вывод о степени влияния каждого фактора на функцию.

Численные значения коэффициентов определяются на основе значений коэффициентов парной корреляции.

Система нормальных уравнений, используемых при расчетах, имеет вид:

 

r_γtε1t=β₁r_ε1tε1t+β₂r_ε1tε2t+…+β_pr_ε1tεpt

r_γtε2t=β₁r_ε2tε1t+β₂r_ε2tε2t+…+β_pr_ε2tεpt,

…………………………………………

r_γtεpt=β₁r_εptε1t+β₂r_εptε2t+…+β_pr_εptεpt

r_γtεit=∑γε_it/(∑γ²_t∑ε²_it)^½; r_εitεjt=∑ε_itε_jt/(∑ε²_it∑ε²_jt)^½; r_εitεjt=1.

 

Система уравнений, линейных относительно β_i, может быть решена любым способом. Естественно, оценка параметров и проверка надежности найденных уравнений регрессии осуществляются при использовании Microsoft Excel и множества статистических пакетов обработки данных, таких как SPSS, Statistica, Minitab и других. В данном случае важен содержательный алгоритм расчетов. Например, при использовании формул Крамера в_i=∆_i/∆, где ∆_i – определитель, получаемый из главного определителя ∆ путем замены i- го столбца столбцом из свободных членов.

После решения системы и определения β_i -коэффициентов находятся коэффициенты α_i=β_iσ_γt/σ_εit, осуществляется переход от относительных величин к абсолютным и уравнению

y_t=∑^p_j=1a_jx_jt+ε_t, t=1,2,…n.

 

Для оценки параметров уравнения временные ряды должны быть не менее 15-20 лет, а прогнозный период в 2-3 раза короче. Прогнозные значения x_jt можно оценить на основе экстраполяции, методом экспоненциального сглаживания, на основе трендов или уравнений авторегрессии, методом экспертных оценок. При необходимости в модели должны найти отражение периоды запаздывания.