Поперечно-магнитные поля

Выразим величины и из первого и второго уравнения системы (1.3) через :

(1.4)

Подставив их значения в последнее уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для составляющей :

(1.5)

Где .

Следовательно, расчет поперечно-магнитного поля в направляющей системе сводится к решению уравнения (1.5) при граничных условиях (1.1). Последние в рассматриваемом случае принимают вид

(1.6)

или просто при .

Решение уравнения (1.5) будем искать методом разделения переменных, полагая, что

(1.7)

Тогда уравнение (1.5) нетрудно привести к виду

(1.8)

Последнее уравнение эквивалентно двум уравнениям:

(1.9)

где - неизвестная постоянная разделения, а

(1.10)

Решение первого уравнения (1.9) целесообразно записать таким образом:

Для второго уравнения (1.9) решение удобно представить в виде линейной комбинации показательных функций:

Следовательно,

( (. (1.11)

Чтобы найти входящие в (1.11) неизвестные коэффициенты и постоянную разделения , используем граничные условия (1.6). Поставив туда значение будем иметь

(1.12)

при

Условия (1.12), очевидно, могут быть удовлетворены, если положить = 0. В этом случае проекция , как видно из (1.4), обращается в нуль не только на проводящих плоскостях, но и во всех точках пространства между ними. Тогда из (1.10) следует, что (величина , как известно, носит название постоянной распространения).

Подставляя найденные значения и в выражения (1.11) и (1.4), получим:

(1.13)

Здесь мы положили, что .

Таким образом, решение системы уравнений (1.3) при определяет электромагнитное поле в виде суммы двух бегущих волн, распространяющихся по оси z в противоположных направлениях.

Если полагать, что источник электромагнитной энергии находится где-то в точках , то в линии, естественно, будет существовать только одна волна, распространяющаяся в направлении от к . В этом случае выражения для компонент электромагнитного поля принимают вид:

(1.14)

Из равенств (1.14) вытекает, что векторы электромагнитного поля полученной волны не имеют составляющих на направление распространения. Следовательно, электромагнитное поле, определяемое уравнениями (1.4), (1.5), при вырождается в волну поперечно-электромагнитного типа.

Фазовая скорость волны (1.14) совпадает со скоростью распространения плоской волны в свободном пространстве с параметрами среды :

Для характеристики направляющей системы целесообразно ввести величину, называемую характеристическим сопротивлением. Последнее определяется как отношение поперечной проекции вектора к перпендикулярной ей поперечной проекции вектора .

В нашем случае характеристическое сопротивление будет равно

т.е. оно совпадает с волновым сопротивлением среды для плоской волны. Такое совпадение нельзя считать случайным, ибо волна ТЕМ в рассматриваемой системе аналогична по своей структуре плоской волне в неограниченном пространстве. Действительно, если в поле плоской волны, распространяющейся в неограниченном пространстве, внести две бесконечно-тонкие проводящие плоскости, перпендикулярные вектору , то граничные условия (1.1) автоматически оказываются выполненными.

Электромагнитное поле (1.14) в пространстве между проводящими плоскостями имеет волновой характер при любом значении частоты колебаний. Иными словами, поперечная волна в направляющей системе может существовать при любой частоте колебаний поля, причем распространение этой волны происходит со скоростью, зависящей лишь от параметров среды.

Полученное выше решение уравнений (1.3) оказывается не единственно возможным. В самом деле, условиям (1.6), (1.12) можно также удовлетворить если , но

при

Легко убедиться, что левая часть последнего равенства будет обращаться в нуль при , если

откуда вытекает, что

Постоянная распространения , которую в дальнейшем целесообразно обозначить , согласно (1.10) будет равна

(1.15)

Подставив найденное значение в выражение (1.12) и учитывая, что , получим

Аналогично ранее исследованному случаю поперечной волны мы можем положить . Тогда, в соответствии с (1.5), выражения для проекций векторов поля будут иметь вид:

(1.16)

Здесь коэффициент мы заменили на .

Так как по определению - любое целое число, то в пространстве между параллельными проводящими плоскостями, помимо ранее найденной волны ТЕМ, может существовать бесчисленное множество полей поперечно-магнитного типа, характеризуемых различными значениями (поля ).

Рис. 2 - Зависимость составляющей от координаты x в пространстве между проводящими плоскостями при различных значениях

Из выражений (1.16) следует, что распределение поля вдоль оси х имеет форму стоячей волны. Характер изменения поля на интервале определяется числом (индексом) . Согласно (1.16) при различных на промежутке между плоскостями будет укладываться различное число «полуволн» поля, причем это число как раз и равно . На рис. 1.2 изображены кривые изменения вдоль оси х, соответствующие разным . (Максимальные значения для различных «гармоник» здесь выбраны произвольно. Начальные фазы взяты или одинаковыми или отличающимися одна от другой на )

Нетрудно убедиться, что компоненты электромагнитного поля (1.16) при совпадают с компонентами поля (1.14), ибо соответствует . Следовательно, поперечно-электромагнитную волну в пространстве между параллельными проводящими плоскостями можно рассматривать как вырожденный случай поля поперечно-магнитного типа.

Рассмотрим теперь формулу (1.15), определяющую постоянную распространения .

Легко заметить, что при , , постоянная распространения становится чисто мнимой величиной:

где

В этом случае поперечно-магнитное поле (1.16) будет иметь волновой характер, ибо выражения (1.16) при , представляют волны, распространяющиеся с определенной скоростью вдоль оси z.

Предположим, что при данных значениях частоты f, расстояния и заданном типе поля, характеризуемом величиной , выполняется соотношение

В этом случае электромагнитное поле (1.16) уже не будет иметь волнового характера, так как теперь является величиной вещественной, и множитель определяет лишь экспоненциальный характер убывания амплитуды колебаний поля в различных точках оси z. Электромагнитные поля такого типа обычно называют затухающими полями (не смешивать с бегущими волнами, амплитуды которых экспоненциально затухают вдоль направления распространения).

Для любого значения и можно, очевидно, найти такую частоту колебаний, при которой постоянная распространения обращается в нуль. Из выражения (1.15) следует, что , если

Частота колебаний электромагнитного поля, определенная из последнего равенства, имеет название критической частоты и обозначается . Нетрудно видеть, что

(1.17)

Для каждой критической частоты можно рассчитать соответствующую ей критическую длину волны:

; (1.18)

Если и , то .

Используя выражения (1.15), (1.17) и (1.18), получим

(1.19)

Следовательно, при данных , и поперечно-магнитное поле будет иметь форму бегущей волны в том случае, когда частота колебаний поля больше критической частоты (1.17), т. е. когда длина волны короче критической длины волны . Например,поле в линии с и будет иметь волновой характер, если частота , или соответственно длина волны .

Если же частота колебаний меньше критической частоты, поле становится затухающим.

Анализируя выражения (1.16) можно показать, что перенос электромагнитной энергии вдоль направляющей системы осуществляется только бегущими волнами. В самом деле, среднее значение проекции вектора Пойнтинга на ось z в рассматриваемом случае имеет вид

Если постоянная распределения - величина чисто мнимая, то

При вещественном (затухающее поле)

Следовательно, мощность, заключенная в затухающем электромагнитном поле, является чисто колебательной. Последний вывод становится очевидным, если учесть, что проекция в случае вещественной сдвинута по фазе относительно проекции на угол – .

Найдем фазовую скорость волны . Так как по определению , то, учитывая (1.17) - (1.18), получим

, (1.20)

где .

Отсюда вытекает, что фазовая скорость волны при больше скорости v. При величина становится бесконечно большой.

Характеристическое сопротивление

(1.21)

в случае поперечно-магнитных волн оказывается меньше характеристического сопротивления .

Таким образом, величины, характеризующие волны TM в рассматриваемой системе, зависят и от частоты колебаний и от расстояния а между направляющими плоскостями. Что же касается волны ТЕМ, то ее характеристики не зависят ни от , ни от . Получается, что направляющая система как бы не оказывает влияния на распространение этой волны.

Рис. 3 - Силовые линии векторов и волны ТЕМ в пространстве между проводящими плоскостями

Пользуясь выражениями (1.16), можно изобразить силовые линии электромагнитного поля различных типов волн. На рис. 3 показаны силовые линии волны ТЕМ в различных координатных плоскостях (сплошные линии соответствуют электрическому полю, пунктирные - магнитному). На рис. 4 приведены силовые линии волны .