Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори   і   називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: || (мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори   і   колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α . /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай || . Тоді або , або . Якщо , то = , оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: = = . Позначивши α = , дістанемо =α . Якщо , то аналогічно доводиться, що = - . Нехай α = - , тоді також = α .

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді  і  або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів  і  завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α = , тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення :   двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори   і   однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори , ,  відкласти від довільної точки O ( = , = , = ), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори , ,   компланарні, а вектори ,   неколінеарні, то існують єдині числа α, βтакі, що: = α + β . /2/

Інакше кажучи, вектор  можна розкласти за векторами  і  і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори = , = , = . Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори  і  неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1. Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори  і  колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β , де β – деяке число. Отже,  =0* + β , тобто має місце розклад /2/.

2. С  (ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника = + . Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α = , β = . Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, || , що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора  за векторами  і . Теорему доведено.

Теорема 2. ( про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , ,  некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α +β +γ .