Лінійна залежність векторів

Означення. Система векторів  називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,… , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що + + … + = 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при = =…= = 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума + + … +  називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів  лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що + + … + = 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел , ,…,  не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:

 

= –  –  –  –  – .

 

Отже, вектор  є лінійною комбінацією векторів , ,… , ,…, .

3. Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор  є лінійною комбінацією інших векторів:

 

= + + … + + + … + .

 

Цю рівність можна записати так:

 

+ + … +  + (-1) + + … + = 0.

 

У цій рівності коефіцієнт біля  відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то

виконується рівність 1*  + 0*  +… + 0*  =0. 1 0, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.

 

Теорема 1. Два вектори   і  лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів ,   лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий:  = α ,
звідки випливає, що вектори   і   колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори   і  колінеарні. Тоді існує таке число α,що = α . Із властивості 1 випливає, що вектори   і   лінійно залежні. Теорему доведено.

Теорема 2. Система трьох векторів , ,  лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , ,  лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = α +β . Із означення суми векторів випливає, що вектори , α , β  компланарні, а тоді і вектори , ,   будуть компланарними, бо || α , || β .

2. Достатність. Нехай вектори , ,  компланарні. Якщо || , то за попередньою теоремою вектори ,  лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж  не || , то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = α +β . То за властивістю 1 система векторів , ,  лінійно залежна. Теорему доведено

Координати вектора

 

Нехай (, , ) деякий базис простору ,  – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , ,  такі, що

 =  +  + .

Коефіцієнти , ,  розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число  називається першою координатою, число  – другою, а число  – третьою.

Якщо вектор  в даному базисі має координати , , , то скорочено це записують так: (, , ) або .

Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , ,  і  від деякої точки О простору (мал. 16): = , = , = , = .

 

 

Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді  = + + , де = , = = ,  = .

Тому  = ;

 > 0, якщо  і < 0, якщо ;

 = ;

 > 0, якщо  і < 0, якщо .

Аналогічно,  = ;

 > 0, якщо  і  < 0, .

 

Отже, координата  з точністю до знака дорівнює довжині відрізка  виміряному в одиницях довжини . Знак же координати  залежить від напрямку векторів  і :  > 0, якщо  і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат  і .

Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів ,  є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора  із підпростору  існують єдині числа ,  такі, що  =  + . Коефіцієнти ,  цього розкладу називаються координатами вектора  в базисі (, ). Число  називається першою координатою, а число  – другою.

 

Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі  (мал. 17):

 

 = +  =  + .

 = ,

 > 0, якщо  і < 0, якщо ;

 = ;

 > 0, якщо  і < 0, якщо .

 

Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.

Розглянемо властивості координат векторів.

 

Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.

Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.

Теорема: справедливі такі твердження:

1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;

2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;

3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.

Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (, , ), (, , ), (, , ). Тоді за означенням координат вектора

 

 = +  + ,  = + + .

 

Отже,  +  = +  +  + + +  = ( + )  + (  + )  + (  + ) .

Звідси випливає, що координати вектора  +  відповідно дорівнюють + + ,  + ,  + , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться й інші властивості.

 

Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (, , ), (, , ) задані в деякому базисі (, , ), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення: якщо  = , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1. Необхідність. Нехай  || . Тоді існує таке число λ, що  = λ , звідки випиває, що  = λ ,  = λ ,  = λ ;

= λ.

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

2. Достатність. Нехай = λ, тоді  = λ ,  = λ ,  = λ . Помноживши ці рівності на вектори , ,  відповідно, дістанемо = λ ,  = λ ,  = λ . Додавши ці рівності дістанемо +  +  = λ  + λ  + λ  або  +  +  = λ(  +  + ), тобто  = λ  || . Теорему доведено.