Означення. Добутком вектора на дійсне число α називається вектор , який задовольняє такі умови:
1) = * ;
2) , якщо α >0, і , якщо α <0.
Такий вектор позначається = α .
Операція добутку вектора на число має такі властивості.
Властивість 1. α* =0* = для будь-якого дійсного числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.
Властивість 2. Для будь-якого вектора 1* = ; -1* =- . Ця властивість випливає безпосередньо з означення.
Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел α і β: α(β )=(αβ) .
Доведення. Нехай α(β )= , (αβ) = . Доведемо, що = . Маємо:
= * = * * ,
= * = * * .
Отже, = . Покажемо, що . Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.
Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α( + )=α +α , для , і α R.
|
|
Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори = , = , =α , =α (мал. 11). Тоді + = , α +α = . Покажемо, що =α . Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB= , а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α* = * . Тому =α* .
Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).
Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α ( + ) = α +α .
Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β) =α +β , і α, β R.
Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).
1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α +β однаково напрямлені. Крім того,
;
.
Отже, і вектори (α+β) та α +β рівні.
2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β) =(-β+β) =0 =0; α +β = -β + β =0, отже, властивість справджується.
Якщо α -β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α) + (α+β) =(-α+α+β) =β (α+β) = α +β , що і треба було довести.