Глава I. Определение обратных тригонометрических функций

1 2 3 4

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………........4

1.2. Функция у = arccos x …………………………………………………….......5

1.3. Функция у = arctg x ………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctg x …………………………………………………….......7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

2.1. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

2.3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций…..........21

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Введение

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

· Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

· Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию , . (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

, . (2)

Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, где . (3)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Приведем свойства функции , где .

Свойство 1. Область изменения значений функции : .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3. Функция , где , имеет единственный корень .

Свойство 4. Если , то ; если <x , то .

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от до .

1.2. Функция y = arсcos x

Рассмотрим функцию , . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

, , (5)

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка [0, ]. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (6)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х. График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции : .

Свойство 2. Величины и связаны соотношением

= .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до +1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию , . (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения - точки разрыва тангенса.

В промежутке функция монотонна (возрастает от - до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

, , (8)

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (9)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х. Отметим, что при значение функции , а при , т.е. график функции имеет две асимптоты: и .

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Если , то ; если , то .

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до + .

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию , . (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и - точки разрыва котангенса. В промежутке (0, ) функция монотонна (убывает от до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

, , (11)

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка () соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0, ). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем