Вычисление значений обратных тригонометрических функций

Пример 1. Найдите   если

Решение: Оценим  если

Имеем

 или

Следовательно,

где  Окончательно получаем

Ответ:

Пример 2. Докажите, что если  то

Решение: При  оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

Следовательно,

и, тем более,

Введем обозначение

Нужно доказать, что  или  Так как  то  и  лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

(перед корнем взят знак плюс, так как  при ).

Итак, доказано, что  откуда следует справедливость равенства.

Пример 3. Докажите, что выражение  не зависит от , если  и упростите его в этом случае.

Решение: Так как  то  Введем обозначения

 т.е.

Следовательно,

т.е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

 так как

После подстановки получим

т.е.

Ответ:

Пример 4. Доказать равенство

Решение: Обозначим слагаемое левой части через  Имеем

Поскольку  то

Пример 5. Доказать равенство

Решение: Обозначим слагаемое левой части через  Имеем

Далее,  Учитывая, что  - острые углы, сделаем вывод, что

 

Заключение

Данная курсовая работа содержит не только теоретический материал, но и практический (несколько примеров с решениями). В работе рассмотрены основные обратные тригонометрические функции, их свойства и графики; основные соотношения для обратных тригонометрических функций; задачи: вычисление значений обратных тригонометрических функций; доказательство равенств; решение уравнений и систем уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Так как в курсовой работе содержатся основы школьного курса математики по теме “Обратные тригонометрические функции”, то она будет полезна студентам педагогических вузов, учителям, школьникам, готовящимся к поступлению в вузы, учащимся школ и классов с углубленным изучением математики.

 

 

Список использованной литературы

 

1. Абрамович, М. И. Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. Пособие для подготовительных отделений вузов / Стародубцев, М. Т. – М.: «Высшая школа», 1976. -304с.

2. Бермант, А. Ф. Тригонометрия / Люстерник, Л. А.  – М., 1967. – 176с.

3. Выгодский, М. Я. Справочник по элем. Математике. Таблицы, арифметика, алгебра, тригонометрия, функции и их графики. – Изд. 24-е. – М.: «Наука», 1976. – 416с.

4. Гараев, К. Г. Пособие по математике для поступающих в высшие учебные заведения / Исхаков, Э. М.  – Казань: Татарское кн. изд-во, 1982. – 272с.

5. Зайцев, В. В. Элементарная математика. Повторительный курс / Рыжков, В. В. Сканави, М. И.  – Изд. 2-е. – М.: «Наука», 1974. – 591с.  

6. Калнин, Р. А. Алгебра и элементарные функции. – Изд. 8-е. – М.: «Наука», 1975. – 447с.

7. Новоселов, С. И. Специальный курс тригонометрии. Учеб. Пособие для педагогических институтов. – М.: «Советская школа», 1953. – 464с.

8. Обратные тригонометрические функции / В. Мирошин – М.: Чистые пруды, 2007. – 32с. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 4(16)).

9. Черняк, А. А. Математика в решениях задач из сборника М. И. Сканави. Справ. Пособие / Черняк, Ж. А. – Изд-е 7-е, стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2001. – 400с.

10. Шарыгин, И. Ф. Математика для поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1997. – 414с.