Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

Традиционные способы решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями (аркфункциями) сводятся к вычислению какой-нибудь тригонометрической функции от обеих частей с последующим преобразованием полученных суперпозиций по известным тригонометрическим формулам и формулам приведенных ниже:

(13)

Формулы (13) легко выводятся из определений аркфункций и основных тригонометрических тождеств. Приведенные формулы можно дополнить подобными им формулами, полученными на основе двух тождеств

(14)

и формул приведения.

Основным недостатком упомянутых способов решения является нарушение равносильности уравнения в процессе его преобразования, вследствие чего можно ожидать появления “лишних” корней. Выявление лишних решений путем подстановки в исходное уравнение зачастую вызывает большие трудности либо а) из-за сложности вычислений не табличных значений аркфункций, либо б) в связи с тем, что полученное множество решений бесконечно.

Существует метод решения уравнения с аркфункциями, в процессе которого “лишние” корни вообще не возникают. Метод реализуется в трех приводимых ниже подходах, которые различаются в зависимости от числа аркфункций, участвующих в уравнении.

Подход(I): Исходное уравнение содержит две аркфункции. Разнесем их в разные части уравнения. Зададим двумя неравенствами области изменения левой и правой части уравнения. Ввиду монотонности аркфункций эти неравенства легко разрешаются относительно аргументов указанных функций. Решение последней системы неравенств и определяет тот промежуток, которому принадлежат корни исходного уравнения.

Задача 1. Решить уравнение

Решение: Для сравнения воспользуемся сначала традиционной схемой решения.

ОДЗ:

Далее,

С учетом ОДЗ,

В полученном интервале содержится бесконечное множество “лишних” решений, удаление которых превращается здесь в отдельную задачу.

Альтернативное решение, использующее метод (I):

Положим Так как и то исходное уравнение равносильно следующей системе:

Ответ:

Задача 2. Решить уравнение

Решение: Положим Перепишем уравнение в виде:

Так как то исходное уравнение равносильно системе:

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

Решение: Обозначим

Так как и то и

Уравнение принимает вид причем

Так как - интервал монотонности тангенса, то уравнение равносильно уравнению

Переходя к уравнению

можно потерять те корни, для которых и не существует. В данном случае этого не произойдет, поскольку

А правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

Так как уравнение не имеет решений, то остается

Ответ:

Подход (II): Пусть исходное уравнение содержит более двух аркфункций. В этом случае равносильность преобразований сохраняется при использовании следующих схем решения:

(II.1)

(II.2)

При решении задач проверка неравенств или не вызывает сложностей и сводится к сопоставлению областей изменения входящих в уравнение аркфункций.

Задача 4. Решить уравнение:

Решение: Положим Исходное уравнение равносильно системе:

Так как то достаточно убедиться, что

Правое неравенство верно в силу границ изменения арктангенса. Левая часть неравенства следует из того, что при

Ответ:

Задача 5. Решить уравнение:

Решение: Положим Тогда исходное уравнение равносильно системе:

(*)

Последнее неравенство с очевидностью следует из неравенств задающих промежутки изменения переменных. Поэтому система (*) равносильна следующей системе:

Корень первого уравнения системы является решением исходного уравнения. После сокращения первого уравнения на возводим его в квадрат.

Так как

То

Ответ:

Задача 6. Решить уравнение

Решение: Пусть

Так как то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень Делаем проверку и убеждаемся, что является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ:

Задача 7. Решить уравнение

Решение: Введем обозначения

Данное уравнение принимает вид или Обе части уравнения лежат в интервале Если взять котангенсы от обеих частей уравнения, то можно потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это – единственное значение из интервала в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство Если то откуда и При получаем, что Таким образом, - корень уравнения.

Если то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

Что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций и через получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного: Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Подход (III): Для упрощения исходного уравнения во многих случаях удобно переходить от одних аркфункций к другим (например, от арксинуса или арккосинуса к арктангенсу). При этом, наряду с формулами (14), можно использовать следующие формулы:

(15)

Задача 8. Решить уравнение:

Решение: Заметим, что не удовлетворяет данному уравнению. Поэтому, в силу формул (15),

Итак, исходное уравнение можно записать в виде:

Если то уравнение принимает вид:

что невозможно.

Если то и в этом случае уравнение

решений не имеет, поскольку

для

Ответ: нет решений.

Задача 9. Решить уравнение

Решение:

Из полученной системы следует, что то есть и - числа одного знака. Действительно, если то и

Если же то из неравенств сразу следует, что и Следовательно, если то уравнение решений не имеет.

Если то уравнение также решений не имеет, так как

Пусть и хотя бы одно из чисел не равно нулю. Тогда получим, что

Учитывая ограничения системы, получаем, что если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то

Если же и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то

Ответ: если то уравнение решений не имеет; если то уравнение решений не имеет; если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то