Определение поля внутри световода

Геометрия диэлектрического световода показана на рис. 9. Он предоставляет собой плоскую диэлектрическую пластину толщиной 2а с диэлектрической проницаемостью e₁ (показатель преломления n₁) и окружен диэлектрическими полупространствами с проницаемостью e₁ (показатель преломления n₂). Предположим. что e₁ >e₂(n₁ > n₂). Такой выбор значений диэлектрических проницаемостей обусловлен тем, что только в этом случае существует полное внутренне отражение о границ раздела сред, подобно тому, что имеет место в металлическом световоде и, кроме того, большая часть энергии (или вся) распространяется вдоль продольной оси z.

Применим такой же метод анализа, что и для металлического световода. Несмотря на схожесть геометрии, результаты анализа должны быть другими, поскольку в случае диэлектрического световода граничные условия отличаются от граничных условий на стенках металлического световода (у последнего они однородные, т.е. на границах раздела).

Рис. 9. − Планарный диэлектрический световод

Введем в световод плоскую однородную волну. Её волновой вектор имеет две компоненты: вдоль оси z, - вдоль оси x. Во второй среде волновой вектор с компонентами и . Очевидно (ранее это было показано), что должно выполняться равенство .

Сразу ограничимся случаем когда , поскольку именно он представляет наибольший практический интерес, и рассмотри м опять только Н поляризованную волну. (Изучение случая Е поляризованной волны рекомендуется провести самостоятельно).

Напряженности электрического поля падающей и отраженной волн в первой среде по-прежнему описываются выражениями (16) и (17), а напряженность полного поля (18)

. (30)

В среде 2 для преломленного поля соответственно имеем

. (31)

В выражениях (30) и (31) – R и T коэффициенты отражения и прохождения соответственно,

в показателе экспоненты знак “-” – для , знак “+” – для .

Полное поле (30) должно удовлетворять граничным условиям (условиям непрерывности при переходе через границу раздела) при . Учтем вначале ГУ при . Поскольку ГУ в данном случае отличаются от ГУ для металлического световода мы не можем воспользоваться результатами из раздела 2. Однако, рассматриваемая ситуация в точности совпадает с той, которая имела место при изучении явления полного внутреннего отражения. Поэтому мы можем использовать все результаты этого раздела. При этом нужно учесть только некоторые отличия чисто геометрического характера: ось x направлена в противоположную; граница раздела смещена из начала координат на величину +a; угол q отчитывается не от нормали к границе раздела, а от самой границы. Учитывая эти отличия, из (12, 30) получим

, (32)

, (33)

где . (34)

Удовлетворяя теперь ГУ на нижней границе , приходим к соотношению

. (35)

Равенство (35) будет иметь место при

. (36)

Соотношение (36) является по сути дисперсионным уравнением.

Из (32) с учетом (36) можно записать окончательное выражение для полного поля внутри диэлектрического световода

Откуда при m четных

, (37а)

и при m нечетных

. (37b)

Итак, внутри диэлектрического световода, как и внутри металлического, суперпозиция падающей и отраженной волн дает бегущую вдоль оси z плоскую волну и стоячую волну вдоль оси x (или плоскую неоднородную волну распространяющуюся вдоль оси z). Возможны четные и нечетные волны, соответствующие четному или нечетному закону распределения вдоль оси x. По обе стороны световода имеются две бегущие вдоль его границы плоские неоднородные волны, амплитуда которых экспоненциально убывает при удалении от граничной поверхности (рис. 10).