Оптическое приближение (концепция плоских волн)

В этом разделе будет рассмотрен плоский металлический световод, образованный слоем диэлектрика, ограниченного двумя бесконечными, идеально проводящими металлическими плоскостями, параллельными друг другу и оси OZ. Выбор для изучения такого типа световода в какой-то степени ограничит общность результатов, поскольку: во-первых, реальные световоды имеют прямоугольную или круглую форму поперечного сечения, а во-вторых, ограничивающие поверхности как правило не являются металлическими. Однако, такой выбор значительно упростит все вычисления и позволит с наименьшими усилиями понять основные явления в них происходящие, а также проследить взаимосвязь между оптическим и электромагнитных подходами к изучению поля в световодах. (взаимосвязь между результатами, полученными при оптическом и электромагнитном походами к изучению поля в световодах). Более того, нам не понадобится подробное рассмотрение электродинамического подхода. Мы воспользуемся основными результатами, полученными в курсе электродинамики при изучении прямоугольного волновода, положив, что размер узкой стенки “b” стремится к бесконечности. Цилиндрические и другие типы оптических световодов будут рассмотрены в последующих разделах.

Геометрия металлического световода представлена на рис. 5. Он образован двумя бесконечными идеально проводящими плоскостями, уравнения которых таковы: x = ± a. Заполняющая его внутреннюю часть среда – вакуум. Будем рассматривать только Н поляризованные волны в геометрооптической терминологии (Н волны – в электродинамической).

Пусть в пространстве между проводящими плоскостями возбуждена каким-то образом плоская

однородная монохроматическая Н поляризованная волна с длиной волны l.. Волновой вектор лежит в плоскости XOZ и образует с осью z угол q. Назовем такую волну “восходящей”. Вектор параллелен оси Y - имеет только одну составляющую Е_1y

В результате отражения от верхней плоскости появится отраженная (“нисходящая”) волна

где R – коэффициент отражения.

В любой точке пространства между плоскостями полное поле есть результат интерференции этих двух волн и напряженность электрического поля его определится выражением

. (16)

Рис. 5. − Металлический планарный (плоский) световод.

В силу граничных условий Е_y должна обращаться в нуль при x = ± a. Выполнение граничного условия при x=a позволяет определить R

а при x = -a приводит к соотношению

, (17)

где m – целое положительное число.

Тогда выражение для полного поля запишется следующим образом

. (18)

Согласно (18) поле в световоде может существовать в виде набора плоских неоднородных бегущих вдоль оси OZ волн с постоянной распространения

. (19)

Каждой волне соответствует свой индекс “m”, определяющий характер распределения амплитуды в поперечной плоскости. Такие волны принято называть распространяющимися модами. Неоднородность их обусловлена тем, что поверхности постоянной амплитуды есть плоскости x =const, а эквифазные поверхности – плоскости z =const. Характер зависимости от координаты x будет различным для четных и нечетных m (рис. 6).

Пусть m четное число, т.е. m =2p, тогда

, p=1,2,3,... (20а)

если же m нечетное число (m = (2p-1))

, p=1,2,3,.... (20b)

Соотношение (17) можно рассматривать как дисперсионное уравнение. Оно позволяет определить постоянную распространения в световоде в зависимости от частоты и геометрических параметров системы. Из (17) и (19) следует

. (21)

В заключение еще раз подчеркнем, что в металлическом световоде электромагнитное поле в общем случае может существовать в виде дискретного множества плоских волн. При этом каждую волну (моду) из этого множества можно рассматривать (трактовать) либо как плоскую неоднородную волну, распространяющуюся вдоль продольной оси OZ с постоянной распространения b (21), либо как плоскую однородную волну, распространяющуюся в световоде, путем многократного отражения от стенок, на которые она падает под углом , где