Кинематический анализ. Задачи и методы

Основным назначением механизма является выполнение требуемых движений, которые описываются с помощью кинематических характеристик.

Кинематический анализ — это изучение движения звеньев механизма без учета действующих сил.

Под кинематическими характеристиками понимаются перемещения, скорости и ускорения точек, а также угловые скорости и угловые ускорения звеньев. Определение траекторий точек необходимо для того, чтобы спроектировать, например, корпус машины, очертания картеров, исключить столкновение звеньев при движении и т. д. Кроме того, кинематический анализ дает возможность перейти к следующему этапу проектирования — динамическому расчету, при котором необходимо знать скорости и ускорения точек и звеньев.

Перемещения, скорости, ускорения определяют в пределах цикла работы механизма, т. е. за один оборот ведущего звена, для нескольких положений. Движение звеньев зависит от закона движения ведущего звена, поэтому при решении задач кинемати­ческого анализа должны быть заданы:

        1) структурная схема механизма с указанием ее размеров,
т. е. кинематическая схема;

       2) закон движения начального звена.

Основные методы кинематического анализа:

—  метод построения планов;

—  метод кинематических диаграмм;

—  аналитический метод.

Графические методы отличаются простотой и наглядностью; иногда они являются единственно приемлемыми, т. к. дают наиболее простое решение.
В данном пособии использован метод построения планов. Планы строятся в заданном масштабе. При этом вводится понятие масштабный коэффициент. Масштабным коэффициентом физической величины на­зывают отношение численного значения физической величины к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину. Масштабные коэффициенты обозначают буквой μ с индексом, указывающим, к какой величине они относятся. Например, масштабный коэффициент длин μ_l   есть отношение какой-либо длины l _AB в метрах к отрезку AB, изображающему эту длину на чертеже в миллиметрах:

, м/мм.

Планы положений механизма

Изображение кинематической схемы механизма, соответствующее определенному положению начального звена, называется планом механизма.

Рассмотрим построение планов механизма на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.1).

Выбираем масштабный коэффициент таким образом, чтобы длина кривошипа ОА на чертеже была равна 30…40 мм, и наносим расположение неподвижных осей. От оси вращения кривошипа (точки О) намечаем горизонтальную линию – ось перемещения ползуна. При этом, согласно заданию, ось ползуна может быть смещена на расстояние «у» от оси вращения кривошипа. Это расстояние следует отложить с учетом выбранного масштабного коэффициента.

Задаемся крайним положением механизма (кривошип ОА₀ и шатун А₀В₀ располгаются на одной линии, т.е. происходит наложение звеньев). Точка В₀ определяет начало рабочего хода ползуна. На рисунке 1 это положение показано зеленым цветом.

Конец кривошипа (точка А) движется по окружности радиуса ОА
с постоянной угловой скоростью. Принимая во внимание направление вращения кривошипа, показанное круговой стрелкой, делим окружность радиуса ОА на равные части (например, на 6 частей). Обозначим точки деления А₁, А₂ … и т.д. Точка А₆ совпадает с А₀; при этом кривошип совершает полный оборот.

Из точек деления А₁, А₂ …и т.д. делаем засечки В₁ , В₂ …на оси движения ползуна радиусом, равным длине шатуна АВ. Найденные положения точки В определяют положение поршня (ползуна) за один цикл, т.е. за полный оборот кривошипа.

Соединяем одноименные точки А₁ и В₁, А₂ и В₂ … и т.д. Получили положения шатуна за цикл движения.

Рис. 1. Построение плана положений кривошипно-ползунного механизма

В положении 3 кривошип ОА₃   и шатун А₃В₃ снова лежат на одной линии, т.е. происходит суммирование длин звеньев (см. красный цвет), поэтому точка В₃ определяет конец рабочего хода, и ползун начинает двигаться в обратном направлении. Точки В₄, В₅ соответствуют холостому ходу механизма.

Построенный план положений механизма позволяет определить траектории точек и положения звеньев за цикл движения, то есть приступить к следующим задачам кинематического анализа – построению планов скоростей и планов ускорений механизма.

Планы скоростей механизма

Планом скоростей называют чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек механизма в данном положении.

Для построения плана скоростей необходимы исходные данные:

1) план механизма с указанием размеров;

2) угловая скорость начального звена ω_ОА.

Определить: скорость и ускорение точки В; угловую ско­рость и угловое ускорение звена АВ.

Механизм образован присоединением к ведущему звену груп­пы Ассура II класса 2-го вида (рис. 2а). Выделим эту группу и построим для нее план скоростей для одного из положений механизма.

Из теоретической механики известно, что любое движение плоского тела может рассматриваться как сумма двух движений: вращение относительно некоторой точки (полюса) и поступательное (переносное) движение полюса.

Скорость точки В определит­ся уравнением:

                                  (1)

Известны величина и направление скорости точки А

;     .       (2)

Известны также направления скоростей: ; .

 Построим векторное уравнение (1).

1. Выбираем произвольную точку р - полюс плана скоростей и откладываем в направлении вектора V_A отрезок произвольной длины ра
(рис. 2, б). При этом определяем значение масштабного коэффициента плана скоростей

                               (3)

2. Через точку а плана скоростей проводим направление относительной скорости V_ВA - прямую, перпендикулярную стороне звена АВ; через полюс проводим направление абсолютной скорости точки   В — горизонтальную прямую, па­раллельную   х — х.

3. Пересечение этих двух прямых – единственная общая точка, определяющая решение векторного уравнения (1). Обозначим эту точку буквой b и соединим ее с полюсом. Отрезок pb изображает абсолютную скорость точки В.  Величину скорости находим, измерив отрезок на плане и умножив его на масштабный коэффициент

                                   (4)

Таким образом, на плане скоростей изображено уравнение (1) в принятом масштабе: левая часть уравнения – вектор абсолютной скорости pb; правая часть уравнения – сумма двух векторов: переносной скорости pа и относительной скорости аb.

 

Рис. 2. Пример построения плана скоростей и ускорений а — план механизма;

б — план скоростей; в — план ускорений

 

4. Точка В движется по дуге окружности радиусом равным длине шатуна относительно точки А, поскольку в точке А – вращательная кинематическая пара. Угловую скорость звена АВ находим из выражения

 .             (5)

5. Мысленно переносим вектор относительной скорости ab с плана скоростейв точку В плана механизма, и увидим, что этот вектор вращает звено АВ против часовой стрелки (см. рис. 2 а, б).

По приведенной методике строятся планы скоростей для всех положений механизма. Построение планов скоростей следует выполнять из одного полюса, что позволит видеть изменение величины и направления скоростей на рабочем и на холостом ходу, а также в крайних положениях механизма.

Планы ускорений механизма

Планы ускорений в курсовой работе рекомендуется построить для одного из крайних положений и для одного из промежуточных.

Абсолютное ускорение точки B складывается из переносного ускорения а_А и относительного ускорения   а_ВА при движении точки В по окружности  с центром в точке А.

                                                   (6)       

Поскольку относительное движение вращательное, неравномерное, то, как известно из теоретической механики, ускорение складывается из нормального и касательного

                     (7)

где  - вектор направлен от точки А к центру вращения – точке О.

—нормальное ускорение в относительном движении, направленное по радиусу вращения AВ к центру вращения (точке А);

Вектор касательного ускорения .

Вектор абсолютного ускорения a_B  направлен параллельно x-x.

Построим уравнение (7) в виде суммы векторов (рис. 2, в)

1. Выбираем точку π — полюс плана ускорений. Откладываем из полюса вектор  в виде отрезка произвольной длины , направленного параллельно вектору . Определяем масштабный коэффициент

          (8)

2. Из точки а откладываем в направлении от точки В к точке А, отрезок an, изображающий вектор нормального ускорения. Величина отрезка an определяется соотношением:  

                                                                     (9)

3. Через полученную точку п в направлении, перпендикулярном АВ, проводим прямую линию – направление касательного ускорения.

4. Через полюс проводим направление абсолютного ускорения точки В. Ползун образует поступательную пару со стойкой, поэтому вектор ускорения а_В может быть направлен только по горизонтали, то есть параллельно x-x.

5. Точка пересечения направлений двух последних векторов определяет абсолютное ускорение, а также направление и величину касательного ускорения.

6. На плане ускорений, построенном с учетом масштабного коэффициента, правая часть уравнения (7) изображена соот­ветствующими векторами , , .  Результирующий вектор  изображает абсолютное ускорение точки В.

                                                 (10)

7. Угловое ускорение звена АВ  находим по касательной состав­ляющей

           (11)

8. Направление углового ускорения находим, перенося вектор касательной составляющей ускорения  в точку B механизма (см. рис. 2 в, а).

Величина абсолютного ускорения точки В

                                           (12)

Определим значения полных относительных ускорений

                    (13)

С учетом известных из теоретической механики формул (см. значения величин, входящих в уравнение 7), получим

                             (14)

Величину полного относительного ускорения а_ВА можно определить графическим способом. Для этого следует соединить точки а  и в на плане ускорений, измерить отрезок ав в миллиметрах, а затем полученное значение умножить на масштабный коэффициент.