Расчет дисперсии опыта

Построчная дисперсия для каждого эксперимента определяется по формуле:

(1)

(2)

где g и n_u- номер и количество дублей эксперимента соответственно; - результат g-го повторения u-го эксперимента; - среднее арифметическое значение всех дублей u - го эксперимента; f_u- число степеней свободы в u - м опыте при определении u - й построчной дисперсии .

Число степеней свободы – понятие, учитывающее в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Это число определяется как разность между числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэффициентов и пр.), подсчитанных по результатам тех же опытов.

В нашем случае n_u= 3, f_u= 3 - 1 = 2. Тогда выражение (1) можно переписать следующим образом:

(3)

Построчная дисперсия по выражению (3) рассчитывается для каждого u - го опыта отдельно. Результаты расчетов построчной дисперсии приведены в табл. 4.

Таблица 4

Результаты расчета построчной дисперсии

Номер опыта, u	Номер дубля, g	Удельная потеря массы, , г/см²	Среднее арифметическое значение интенсивности изнашивания, , г/см²	Построчная дисперсия,
1	1	97,8	97,3	5,975
	2	99,4
	3	94,6
2	1	128,3	127,6	8,245
	2	130,0
	3	124,4
3	1	152,1	153,7	27,93
	2	149,4
	3	159,6
4	1	73,8	71,9	2,77
	2	71,2
	3	70,7
5	1	110,3	113,7	18,43
	2	118,5
	3	112,2
6	1	93,8	91,8	3,225
	2	91,1
	3	90,4
7	1	126,2	127,1	8,17
	2	130,3
	3	124,8
8	1	114,2	112,2	3,665
	2	110,4
	3	111,9

регрессия дисперсия дублирование

Приведем пример расчета построчной дисперсии в первом опыте (u = 1):

После определения построчных дисперсий производят проверку воспроизводимости экспериментальных данных. Проверка выполняется в том случае, если имеет место дублирование опытов, что является обязательным правилом при проведении планированного эксперимента. На этой стадии проверяется гипотеза о постоянстве дисперсии шума с использованием критерия Кохрена. Проверка данной гипотезы позволяет судить об однородности или неоднородности ряда дисперсий. Если ряд дисперсий однороден, различные значения функции отклика (y) определяются с одинаковой точностью. Если ряд дисперсий неоднороден, различные значения функции отклика (y) определяются с разной точностью.

Процедура проверки статистических гипотез в общем случае формально предусматривает сравнение некоторого критерия, рассчитанного по экспериментальным данным, с его табличным значением при выбранном заранее уровне значимости a. Уровень значимости a определяет наибольшую вероятность отвергнуть правильную гипотезу, т. е. наибольшую вероятность предположения о том, что экспериментальный результат ошибочен. Например, если уровень значимости выбирают равным 0,05 (что, очень часто делается в технических задачах), то это означает, что допускается 5%-ная вероятность неверного решения и доверительная 95%-ная вероятность верного.

Если найденное по экспериментальным данным значение критерия попадает в область, соответствующую уровню значимости, то проверяемая гипотеза неверна и ее следует отвергнуть, совершив ошибку с вероятностью a. Если же экспериментальное значение критерия попадает в область, соответствующую вероятности (1-a), то проверяемую гипотезу принимают, совершив ошибку, связанную уже с альтернативной гипотезой.

Расчетное значение критерия Кохрена рассчитывается по формуле:

, (4)

где - наибольшая в ряду дисперсия, которую сравнивают со значением G - критерия, взятым из табл. А1 (приложение А) в зависимости от уровня значимости a, числа степеней свободы f_uи числа опытов N: G(a; f_u; N). В рассматриваемом случае f_u = 2; N = 8.

Из табл. 4 находим максимальную построчную дисперсию и Тогда G ^pacч = 27,93/78,4 = 0,356.

Приняв значение уровня значимости a = 0,05, для числа степеней свободы f_u = 2 и числа опытов N = 8 получим следующее табличное значение G-критерия: .

Если G ^pacч < , ряд дисперсий однороден. Если G ^pacч > , ряд дисперсий неоднороден.

В рассматриваемом примере G ^pacч > , т.е. ряд дисперсий неоднороден. Обычно такая ситуация возникает, если среди анализируемых экспериментальных данных имеются грубые ошибки или промахи, связанные с ошибками, допущенными при проведении эксперимента. В таком случае эксперимент следует повторить, тщательно проанализировав его с методологической точки зрения и уделив особое внимание методике сбора и обработки экспериментальных данных. Если при тщательном анализе экспериментальных данных грубых ошибок и промахов не выявлено, неоднородность ряда дисперсий означает, что значения функции отклика (y) действительно определены с разной точностью, однако в каждом отдельном опыте уровень шумов (ошибок) не выходит за границы допустимых значений. Именно такой вывод справедлив для результатов измерений и расчетов, представленных в табл. 4. Во всех дублях значения функции отклика очень плотно группируются относительно средних значений .