Проверка адекватности модели

 

Процедура проверки адекватности модели сводится к выполнению ряда последовательных вычислений:

1. Расчет теоретических значений функции отклика в каждом опыте по уравнению (15).

2. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений функции отклика и нахождение дисперсии неадекватности.

3. Расчет критерия Фишера и окончательный вывод на основе сопоставления его расчетного и табличного значений об адекватности или неадекватности модели.

С помощью полученного уравнения (15) определим расчетные значения функции отклика (удельной потери массы y). Все значения Х_i в данное уравнение входят в кодовом масштабе. Например, в 4-м опыте х₁ = +1, х₂ = +1, х₃ = -1, х₄ = +1, х₇ = -1 (табл. 3, 5). Тогда расчетное значение удельной потери массы в этом опыте будет равно:

 

у₍₄₎ = 111,9-11,03+34,5-13,14-1,83-4,13-14,89= 101,38 г/см².

 

Подсчитанные таким образом значения удельной потери массы приведены в табл. 6. Данные табл. 4 будем использовать для определения дисперсии неадекватности. При равномерном дублировании экспериментов дисперсия неадекватности определяется по зависимости:

 

; , (16)

 

где и - значения функции отклика в u-м эксперименте, соответственно рассчитанные по уравнению регрессии и определенные экспериментально; f₁ – число степеней свободы; - число оставленных коэффициентов уравнения регрессии, включая b₀ (); N - число опытов плана (N = 8). Тогда f₁ = 8 - 7 = 1.

Таким образом, если из регрессионной модели исключен, хотя бы один статистически незначимый коэффициент (а это неизбежно, если варьируемые факторы действительно являются независимыми переменными), массив разностей будет содержать информацию об ошибках в предсказании значений функции отклика.

 

Таблица 6

Сопоставление экспериментальных и расчетных данных

Номер эксперимента, u
1	97,3	66,36	30,94	957,3
2	127,6	96,7	30,9	954,8
3	153,7	183,16	-29,46	867,9
4	71,9	101,38	-29,48	869,1
5	113,7	84,22	29,48	869,1
6	91,8	62,32	29,48	869,1
7	127,1	157,98	-30,88	953,6
8	112,2	143,08	-30,88	953,6

В рассматриваемом случае построенная модель (15) включает шесть коэффициентов: . Тогда в соответствии с выражением (16) .

Гипотеза об адекватности модели (15) проверяется по критерию Фишера. Его расчетное значение находим по уравнению:

 

. (17)

.

 

Из выражения (17) следует, что расчетное значение критерия Фишера представляет собой отно­шение дисперсии неадекватности к дисперсии опыта. По сути дела он позволяет ответить на вопрос: во сколько раз модель предсказывает значения функции отклика хуже по сравнению с опытом? Тогда табличное значение критерия Фишера должно регламентировать допустимое отклонение расчетных значений функции отклика относительно опытных данных.

Табличное значение критерия Фишера определяется в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы f₁ и f₂, определенных ранее: F(a; f₁; f₂). При уровне значимости a = 0,05 табличное значение F - критерия (табл. В1, приложение В) равно .

Анализ модели

Все соображения о направлении и силе влияния изученных факторов на износостойкость чугунных тормозных колодок можно высказать только для выбранных интервалов их изменения.

Из анализа полученного уравнения регрессии (15), можно сделать вывод о том, что наиболее существенно увеличивает износостойкость фактор X₃(С), а значит, для изготовления тормозных колодок следует использовать чугун с максимальным содержанием углерода: 3,8 мас. %.

Установлено, что наименьшие удельные потери массы (0,071 г/cм²) получены на образце № 7 (Al - 2,5 %, Mn - 12 %, С - 3,8 %) (табл. 6).

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица А1

 

Критические значения G-критерия (критерия Кохрена) при уровне значимости a = 0,05

Число опытов, N	Число степеней свободы,
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	16	36	144
2	0,999	0,975	0,939	0,906	0,858	0,853	0,833	0,816	0,801	0,788	0,734	0,66	0,581
3	0,967	0,871	0,798	0,746	0,707	0,677	0,653	0,633	0,617	0,603	0,547	0,475	0,403
4	0,907	0,768	0,684	0,629	0,59	0,56	0,537	0,518	0,502	0,488	0,437	0,372	0,309
5	0,841	0,684	0,598	0,544	0,506	0,478	0,456	0,439	0,424	0,412	0,365	0,307	0,251
6	0,781	0,616	0,532	0,48	0,445	0,418	0,398	0,382	0,368	0,357	0,314	0,261	0,212
7	0,727	0,561	0,48	0,431	0,391	0,373	0,356	0,338	0,325	0,315	0,276	0,228	0,183
8	0,68	0,516	0,438	0,391	0,36	0,336	0,319	0,304	0,293	0,283	0,246	0,202	0,162
9	0,64	0,478	0,403	0,358	0,329	0,307	0,29	0,277	0,266	0,257	0,223	0,182	0,145
10	0,602	0,445	0,373	0,331	0,303	0,282	0,267	0,254	0,244	0,235	0,203	0,166	0,131
12	0,541	0,392	0,326	0,288	0,262	0,244	0,23	0,219	0,21	0,202	0,174	0,14	0,11
15	0,471	0,335	0,276	0,242	0,22	0,203	0,191	0,182	0,174	0,167	0,143	0,114	0,089
20	0,389	0,271	0,221	0,192	0,174	0,16	0,15	0,142	0,136	0,13	0,111	0,088	0,068
24	0,343	0,235	0,191	0,166	0,149	0,137	0,129	0,121	0,116	0,111	0,094	0,074	0,057
30	0,293	0,198	0,159	0,138	0,124	0,114	0,106	0,1	0,096	0,092	0,077	0,06	0,046
40	0,237	0,158	0,126	0,108	0,097	0,089	0,083	0,078	0,075	0,071	0,06	0,046	0,035
60	0,174	0,113	0,09	0,077	0,068	0,062	0,058	0,055	0,052	0,05	0,041	0,032	0,023
120	0,1	0,063	0,05	0,042	0,037	0,034	0,031	0,029	0,028	0,027	0,022	0,017	0,012

 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

 

Таблица Б1

Критические значения t-критерия (критерия Стьюдента)

Число степеней свободы,	Уровень значимости, a			Число степеней свободы,	Уровень значимости, a
	0,1	0,05	0,01		0,1	0,05	0,01
1	6,31	12,7	63,66	16	1,75	2,12	2,92
2	2,92	4,3	9,93	17	1,74	2,11	2,9
3	2,35	3,18	5,84	18	1,73	2,1	2,88
4	2,13	2,78	4,6	19	1,73	2,09	2,86
5	2,02	2,57	4,03	20	1,73	2,08	2,85
6	1,94	2,45	3,71	21	1,72	2,08	2,83
7	1,9	2,37	3,5	22	1,72	2,07	2,82
8	1,86	2,31	3,36	23	1,71	2,07	2,81
9	1,83	2,26	3,25	24	1,71	2,06	2,8
10	1,81	2,23	3,17	25	1,71	2,06	2,79
11	1,8	2,2	3,11	26	1,71	2,06	2,78
12	1,78	2,18	3,06	27	1,7	2,05	2,77
13	1,77	2,16	3,01	28	1,7	2,05	2,76
14	1,76	2,15	2,98	29	1,7	2,04	2,75
15	1,75	2,13	2,95	30	1,7	2,04	2,75

 

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Таблица В1

Значения критерия Фишера (F-критерия) при уровне значимости a = 0,05

Число степеней свободы,	Число степеней свободы, (N – количество опытов; - количество статистически значимых коэффициентов в регрессионном уравнении)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	14	16	20	24	30
2	18,51	19	19,16	19,25	19,3	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,41	19,42	19,43	19,44	19,45	19,46
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,74	8,71	8,69	8,66	8,64	8,62
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6	5,96	5,91	5,87	5,84	5,8	5,77	5,74
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,68	4,64	4,6	4,56	4,53	4,5
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,1	4,06	4	3,96	3,92	3,87	3,84	3,81
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,57	3,52	3,49	3,44	3,41	3,38
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,5	3,44	3,39	3,34	3,28	3,23	3,2	3,15	3,12	3,08
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,07	3,02	2,98	2,93	2,9	2,86
10	4,96	4,1	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,91	2,86	2,82	2,77	2,74	2,7
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,2	3,09	3,01	2,95	2,9	2,86	2,79	2,74	2,7	2,65	2,61	2,57
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3	2,92	2,85	2,8	2,76	2,69	2,64	2,6	2,54	2,5	2,46
13	4,67	3,8	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,6	2,55	2,51	2,46	2,42	2,38
14	4,6	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,7	2,65	2,6	2,53	2,48	2,44	2,39	2,35	2,31
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,9	2,79	2,7	2,64	2,59	2,55	2,48	2,43	2,39	2,33	2,29	2,25
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,42	2,37	2,33	2,28	2,24	2,2
17	4,45	3,59	3,2	2,96	2,81	2,7	2,62	2,55	2,5	2,45	2,38	2,33	2,29	2,23	2,19	2,15
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41	2,34	2,29	2,25	2,19	2,15	2,11
19	4,38	3,52	3,13	2,9	2,74	2,63	2,55	2,48	2,43	2,38	2,31	2,26	2,21	2,15	2,11	2,07
20	4,35	3,49	3,1	2,87	2,71	2,6	2,52	2,45	2,4	2,35	2,28	2,23	2,18	2,12	2,08	2,04
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32	2,25	2,2	2,15	2,09	2,05	2
22	4,3	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,47	2,4	2,35	2,3	2,23	2,18	2,13	2,07	2,03	1,98
23	4,28	3,42	3,03	2,8	2,64	2,53	2,45	2,38	2,32	2,28	2,2	2,14	2,1	2,05	2	1,96
24	4,26	3,4	3,01	2,78	2,62	2,51	2,43	2,36	2,3	2,26	2,18	2,13	2,09	2,02	1,98	1,94

 

Число степеней свободы,	Число степеней свободы, (N – количество опытов; - количество статистически значимых коэффициентов в регрессионном уравнении)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	14	16	20	24	30
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,6	2,49	2,41	2,34	2,28	2,24	2,16	2,11	2,06	2	1,96	1,92
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22	2,15	2,1	2,05	1,99	1,95	1,9
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,3	2,25	2,2	2,13	2,08	2,03	1,97	1,93	1,88
28	4,2	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,36	2,29	2,24	2,19	2,12	2,06	2,02	1,96	1,91	1,87
29	4,18	3,33	2,93	2,7	2,54	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18	2,1	2,05	2	1,94	1,9	1,85
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,34	2,27	2,21	2,16	2,04	2	1,99	1,93	1,89	1,84
32	4,15	3,3	2,9	2,67	2,51	2,4	2,32	2,25	2,19	2,14	2,07	2,02	1,97	1,91	1,86	1,82
34	4,13	3,28	2,88	2,65	2,49	2,38	2,3	2,23	2,17	2,12	2,05	2	1,95	1,89	1,84	1,8
36	4,11	3,26	2,86	2,63	2,48	2,36	2,28	2,21	2,15	2,1	2,03	1,98	1,93	1,87	1,82	1,78
38	4,1	3,25	2,85	2,62	2,46	2,35	2,26	2,19	2,14	2,09	2,02	1,96	1,92	1,85	1,8	1,76
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,07	2	1,95	1,9	1,84	1,79	1,74
42	4,07	3,22	2,83	2,59	2,44	2,32	2,24	2,17	2,11	2,06	1,99	1,94	1,89	1,82	1,78	1,73
44	4,06	3,21	2,82	2,58	2,43	2,31	2,23	2,16	2,1	2,05	1,98	1,92	1,88	1,81	1,76	1,72
46	4,05	3,2	2,81	2,57	2,42	2,3	2,22	2,14	2,09	2,04	1,97	1,91	1,87	1,8	1,75	1,71
48	4,04	3,19	2,8	2,56	2,41	2,3	2,21	2,14	2,08	2,03	1,96	1,9	1,86	1,79	1,74	1,7
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,4	2,29	2,2	2,13	2,07	2,02	1,95	1,9	1,85	1,78	1,74	1,69
55	4,02	3,17	2,78	2,54	2,38	2,27	2,18	2,11	2,05	2	1,93	1,88	1,83	1,76	1,72	1,67
60	4	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,17	2,1	2,04	1,99	1,92	1,86	1,81	1,75	1,7	1,65
65	3,99	3,14	2,75	2,51	2,36	2,24	2,15	2,08	2,02	1,98	1,9	1,85	1,8	1,73	1,68	1,63
70	3,98	3,13	2,74	2,5	2,35	2,23	2,14	2,07	2,01	1,97	1,89	1,84	1,79	1,72	1,67	1,62
80	3,96	3,11	2,72	2,48	2,33	2,21	2,12	2,05	1,99	1,95	1,88	1,82	1,77	1,7	1,65	1,6
100	3,94	3,09	2,7	2,46	2,3	2,19	2,1	2,03	1,97	1,92	1,85	1,79	1,75	1,68	1,63	1,57
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,08	2,01	1,95	1,9	1,83	1,77	1,72	1,65	1,6	1,55
150	3,91	3,06	2,67	2,43	2,17	2,16	2,07	2	1,94	1,89	1,82	1,76	1,71	1,64	1,59	1,54
200	3,89	3,04	2,65	2,41	2,26	2,14	2,05	1,98	1,92	1,87	1,8	1,74	1,69	1,62	1,57	1,52
400	3,86	3,02	2,62	2,39	2,23	2,12	2,03	1,96	1,9	1,85	1,78	1,72	1,67	1,6	1,54	1,49