Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Введение

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

(1.1)

где f - некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y( );

2.Если два решения y= (x) и y= (x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т.е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

g(y) (1.2)

или в виде

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0, (1.3)

где , M(x), P(x) - некоторые функции переменной х, g(y), N(y), Q(y) - функции переменной у.

(рис.1)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и = . Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (1.2)