Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

, (3.1)

где р(х) и q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени - линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

. (3.2)

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

, (3.3)

где р и q - непрерывные функции, a n - некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 - линейное однородное уравнение Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию

_,(3.4)

тогда

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

Умножая обе части этого уравнения на (1 - n), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x):

. (3.5)