Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

, (2.1)

нетрудно убедиться, что его решением является функция

.

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (1.1) имеет вид

. (2.2)

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки - нули функции f (у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

. (2.3)

Пример 2

Решить уравнение: . (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x(y). Полагая, что y≠0 из (2.3) и (2.4), получаем  и , (2.5)

откуда  и . Полагая, что произвольная постоянная , получим . (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).