Аналого-цифровой преобразователь

 

. Рассчитать интервал дискретизации  для получения непрерывных отсчетов  сообщения

Применим для этого теорему Котельникова: для того, чтобы сигнал мог быть восстановлен сколь угодно точно, частота дискретизации fд должна быть по меньшей мере в два раза выше верхней частоты сигнала fв.

 

 

Интервал дискретизации - величина, обратная частоте дискретизации.

 

 с

 

. Определить число уровней квантования L, нужных для замены любого непрерывного отсчета квантованным (L рассчитаем, учитывая, что шаг квантования постоянный и равен 0.1 В).

=0.1,

L = 256 уровней

 

. Рассчитать мощность шума квантования и ее относительную величину при сравнении с мощностью переменной составляющей непрерывного сообщения

Средняя мощность шума квантования может быть найдена по следующей формуле:

 

 

Это следует из значения дисперсии равномерного распределения погрешности квантования.

. Найти минимальное число k двоичных разрядов, требуемое для записи в виде двоичного числа любого номера из L номеров уровней квантования.

 

 

. записать k-разрядное двоичное число, соответствующее заданному номеру j уровня квантования .

Число 124 в двоичной системе исчисления равно 01111100.

. Начертить временную диаграмму отклика АЦП на уровень с заданным номером j в виде последовательности биполярных импульсов (положительную полярность имеют нулевые символы). Амплитуда импульсов равна единице.

. рассматривая АЦП как источник дискретных сообщений с объемом алфавита L, определить его энтропию и производительность.

Энтропия

 

 бит

 

Кодер

 

. Сформулировать правило кодирования при использовании систематического кода с одной проверкой на четность и определить n.

Как известно, систематический код с одной проверкой на четность (n,n-1) строят добавлением к комбинации из n-1=k информационных символов одного проверочного, равного сумме всех информационных по модулю 2. После добавления проверочного символа все комбинации содержат только четное число единиц. Таким образом, n = 9.

. Записать двоичное кодовое слово, образованное в результате кодирования. Указать информационные и проверочные символы, начертить последовательность.

Последовательность принимает вид 011111001.

В приведенном на рисунке сигнале первые восемь символов являются информационными.

. Определить длительность интервала T, отводимого на передачу каждого символа кодового слова, и количество символов, производимых кодером в единицу времени, т.е. скорость следования кодовых символов Vk.

 

Модулятор

 

. Привести выражение и график функции корреляции модулирующего сигнала b(t)

Для определения функции корреляции рассмотрим два сечения в моменты  и , случайного синхронного телефонного сигнала, под которым будем понимать центрированный случайный процесс, равновероятно принимающий значения +1 и - 1, причем смена значений происходит через определенные промежутки времени T. Обозначим  через  и найдем математическое ожидание произведения . Если , то эти сечения принадлежат разным тактовым интервалам и произведение может с равной вероятностью принимать оба значения, так что его математическое ожидание равно 0. Если же , то возможны 2 случая:

А - когда  и когда они принадлежат разным интервалам, и Б -  может равновероятно принимать значения +1 и - 1. Поэтому при  математическое ожидание  равно вероятности того, что оба сечения оказались в одном интервале. Понятно, что случай А имеет место, когда первое из сечений отстоит от начала тактового интервала не более чем на , а вероятность этого равна .

. Привести выражение и график спектральной плотности средней мощности модулирующего сигнала.

Спектральную плотность мощности телеграфного сигнала вычислим из формулы , что следует из теоремы Винера-Хинчина.

Совершим некоторые преобразования

 

3. Ограничить сверху ширину спектра модулирующего сигнала частотой Fb. Искажениями пренебречь. Верхнюю частоту рассчитать по формуле

 

 

На графике спектральной плотности указать полосу частот модулирующего сигнала.

. Дать аналитическое выражение для сигнала s(t) с дискретной модуляцией.

 

 

 

Данное выражение дано для случая с ОФМ, оно повторяет выражение для ФМ, однако в схеме при такой модуляции присутствует сложение по модулю 2:

 

 Гц

 

. Изобразить временные диаграммы, демонстрирующие зависимость сигнала s(t) от сигнала b(t) при передаче уровня с номером j.

 

. Привести выражение и построить график спектральной плотности средней мощности модулированного сигнала S(t).

Спектр ОФМ можно представить в данном случае как спектр АМ с подавленной несущей.

 

 

. Ширина спектра модулированного колебания.

При ОФМ, очевидно, ширина спектра в 2 раза превосходит ширину спектра модулирующего сигнала, и равна 576 кГц.

 

Непрерывный канал

передача сообщение дисперсия преобразователь

1. Определить минимально необходимую ширину полосы частот непрерывного канала Fk.

При определении минимальной полосы частот канала важно помнить, что при ее значении, меньшем, чем Fc будет искажена форма сигнала и уменьшится его энергия на выходе канала. С другой стороны, любое расширение полосы пропускания увеличивает мощность помехи. Следовательно, минимальная частотная полоса канала равна Fс.

. Определить мощность Pn помехи n(t) на выходе канала.

 - мощность квазибелого шума.

Таким образом, мощность помехи равна 0.557 Вт

. Найти отношение (мощности сигнала к мощности помехи)

 

Pn = 0.557 Вт

 

Мощность сигнала найдена усреднением энергии равновероятных радиоимпульсов S0(t) и S1(t).

. Рассчитать пропускную способность канала в единицу времени С.

. Оценить эффективность использования пропускной способности непрерывного канала.

Пропускную способность оценим с помощью коэффициента эффективности использования:

 

Несмотря на малую величину, это наиболее высокое из возможных в данном случае значений, так как ширина полосы непрерывного канала выбрана равной предельно допустимому значению Fc, ниже которого искажается форма сигнала.

 

Демодулятор

 

. Записать правило работы решающей схемы демодулятора, оптимального по критерию максимального правдоподобия.

Пусть сигнал описывается моделью , где n(t) - аддитивный гауссовский шум. Определим алгоритм работы оптимального демодулятора, анализирующего сигнал на интервале 0 - Т. Для этого необходимо найти отношения правдоподобия для всех m возможных сигналов относительно нулевой гипотезы (s(t)=0; z(t)=n(t)).

В качестве шума будем рассматривать квазибелый шум со спектральной плотностью мощности . Примем 2 гипотезы. Первая заключается в том, что Z(t)=n(t), вторая - в том, что Z(t)=s(t).

Получается отношение правдоподобий, упрощение которого приводит к следующему результату

 

 

Перейдя от рассмотрения квазибелого шума к белому получим

 

 

После раскрытия подынтегральных скобок приходим к выражению для алгоритма работы оптимального демодулятора:

,

 

что для двоичной системы упрощается до

 

 

Это выражение определяет алгоритм, который должен совершать оптимальный приемник над входным колебанием z(t).

. Записать алгоритм работы и начертить структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

В общем виде алгоритм работы когерентного демодулятора двоичных сигналов в канале с аддитивной белой гауссовской помехой, оптимального по критерию максимального правдоподобия, определяется по следующему соотношению

 

 

Если левая часть неравенства больше правой части, принимается решение о передаче символа 0, иначе - о передаче символа 1.

Конкретизируем это правило путем подстановки выражений для s0(t) и s1(t).

 

Целью оптимального приема повышение верности принимаемого сообщения, эта задача решается выбором оптимальной структуры приемника.

Задача приемника заключается в следующем: он анализирует смесь сигнала и шума s(t) в течение единичного интервала времени и на основании этого анализа принимает решение, какой из возможных сигналов присутствует на входе приемника. В структурной схеме оптимального демодулятора для ОФМ должно дополнительно присутствовать устройство для восстановления кодового слова.

В общем случае алгоритм восстановления описывается как

 

 

Смесь сигнала и шума n(t) фильтруется согласованным фильтром, а затем выделяется огибающая сигнала на выходе этого фильтра. Огибающая сравнивается с пороговым уровнем, величина которого при равных априорных вероятностях P(E0(t)=P(E1(t)) определяется соотношением Ei/No. Если эти вероятности не равны, пороговый уровень изменится на lnP(E0(t)/P(E1(t). При превышении порогового уровня в верхнем канале принимается решение о подаче 1 на выход, а если в нижнем, то 0. После этого, принятое сообщение , полученное из сложением по модулю 2 декодируется обратно в .

 

3. Вычислить вероятность ошибки р оптимального когерентного демодулятора.

Вероятность ошибки оптимального когерентного демодулятора сигналов с ОФМ в канале с белым гауссовским шумом определяется с помощью соотношения.

. Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема сохранить вероятность ошибки р.

При переходе от ОФМ к ЧМ неизменная вероятность образуется при понижении энергии в 2 раза (3 дБ).

При переходе от АМ к ЧМ энергетический выигрыш по мощности равен 2 (понижение энергии на 3 дб). При переходе от АМ к ЧМ выигрыш равен 4 (6 дБ). [1], стр. 184-185.

. Считая выход демодулятора выходом двоичного симметричного канала связи, определить его пропускную способность

 

 

Декодер

 

. Оценить обнаруживающую и исправляющую способность использованного в работе кода (n,k).

Обнаруживающая и исправляющая способность кода определяется его минимальным кодовым расстоянием по Хэммингу d.

Используемый в данной задаче код имеет d=2, поскольку две различные кодовые комбинации, содержащие по четному числу единиц, не могут различаться в одном разряде. Следовательно, он позволяет обнаружить одиночные ошибки. Исправлять ошибки такой простейший код не способен.

. Дать описание алгоритма обнаружения ошибки.

Применение рассматриваемого кода в схеме декодирования с обнаружением ошибок позволяет обнаружить все ошибки нечетной кратности. Для этого подсчитывается число единиц в принятой комбинации и проверяется на четность. Если при передаче комбинации произойдут ошибки в нечетном числе разрядов, то принятая комбинация будет иметь нечетный вес и окажется запрещенной.