2020-04-20
119
Нехай величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами Мх і σх. Розглянемо питання про знаходження довірчих границь для математичного сподівання.
Потрібно знайти ймовірність нерівності:
(9)
Якби закон розподілу 
був відомим, то знаходження ймовірності нерівності (9) не викликало б складнощів. Проте закон розподілу оцінки 
залежить від розподілу величини Х та її невідомих параметрів Мх і σх.
Нам відомо, що величина Х розподілена за нормальним законом, але зважаючи на те, що параметри Мх і σх цього закону невідомі, скористуватися цим законом розподілу неможливо.
Щоб обійти це ускладнення, введемо замість випадкової величини іншу випадкову величину Тт:
(10)
де 
(11)
п – кількість спостережень;
– статистична дисперсія величини Х.
В математичній статистиці доведено, що випадкова величина Тт підкоряється так званому закону Стьюдента:
(12)
де Г(п/2) – гамма – функція;
п – кількість спостережень.
З рівняння (12) видно, що розподіл Стьюдента не залежить від параметрів Мх і σх величини Х, а залежить тільки від аргументу t і кількості спостережень п.
|
|
|
Розподіл Стьюдента дозволяє знайти ймовірність нерівності 
Для цього задамося довільним позитивним числом ta і знайдемо ймовірність влучення величини Тт на відрізок (-ta, ta):
(13)
Підставимо в ліву частину цієї формули замість Тт його значення з формули (10) і отримаємо:
(14)
(15)
де 
– довірча ймовірність;
ta – квантиль розподілу Стьюдента для вибраної ймовірності P(ε) та кількості ступенів свободи r=n-1.
Функція ta табульована. За допомогою такої табульованої функції можна вирішувати практичні задачі з оцінки точності математичного спадкування.
Довічний інтервал знаходиться так:
1. Задамося довірчою ймовірністю P(ε). Зазвичай P(ε)=0,9; 0,95; 0,98; 0,99.
2. Знаходимо величину σm за формулою (11).
3. Визначаємо кількість ступенів свободи r=n-1.
За відомими r та P(ε) знаходимо за таблицями [1] величину ta.
5. Помноживши ta на σm, знаходимо ε= ta∙σm – половину довжини довірчого інтервалу.
6. Знаходимо довірчий інтервал 
