Довірчий інтервал при розподілі Пуассона

надійність електроапаратура експоненціальний

Довірчі границі у випадку розподілу Пуассона обчислюється за формулами:

 

;  (25)

 

де а – параметр розподілу Пуассона (математичне сподівання кількості відмов); а = λt;

n – кількість відмов, які виникли в процесі випробовування;

коефіцієнти r₁ і r₂ визначаються за формулою (21).

Довірчий інтервал для інтенсивності відмов при розподілі Пуассона знаходиться так:

1. Задаємося довірчою ймовірністю Р(ε).

2. За заданими значеннями п та Р(ε) знаходимо коефіцієнти r₁ і r₂.

3. Розраховуємо за формулою (25) значення а_н та а_в параметрів розподілу Пуассона.

4. За заданим сумарним напрацюванням t_Σ знаходимо довірчі границі для λ:

 

 

Критерії згоди

 

Між статистичним розподілом та теоретичною кривою на практиці завжди є розбіжності. При цьому потрібно переконатися, викликані ці розбіжності тільки випадковими обставинами, які пов’язані з обмеженою кількістю спостережень, або вони є істотні і пов’язані з тим, що вибрана крива погано вирівнює даний статистичний розподіл. Отже, виникає питання про узгодження теоретичного і статистичного розподілів. Перевірка такої узгодженості здійснюється за критеріями згоди. Критеріями, які найбільш використовуються, є критерій Колмогорова та критерій χ² Пірсона.

 

Критерій Колмогорова

 

При застосуванні критерію згоди Колмогорова як захід розбіжності між теоретичним і статистичним розподілом розглядається максимальне значення модуля різниці між теоретичною та експоненціальною функціями розподілу.

На рис. 2 наведені теоретична та експоненціальна функції розподілу F(t).

 

Рисунок 2 – Функції розподілу F(t)

На підставі цього критерію експериментальний розподіл узгоджується з вибраним теоретичним, якщо виконується умова:

 

, (26)

 

де найбільше відхилення теоретичної кривої від експоненціальної;

п – загальна кількість експоненціальних даних.

Недоліком критерію Колмогорова є те, що він потребує попереднього знання теоретичного розподілу, тобто його можна використовувати тільки тоді, коли відомі не тільки вигляд функції розподілу F(t), її параметри М_t і σ_t. Такий випадок дуже рідко зустрічається на практиці. Якщо все ж використовувати цей критерій у тих випадках, коли параметри теоретичного розподілу знаходяться за статистичними даними, то критерій дає явно завищені значення, що може привести до невірних висновків.

 

3.2 Критерій Пірсона χ²

 

Критерій χ² Пірсона не потребує побудови самого закону розподілу. Достатньо тільки задатися загальним виглядом функції F(t), а кількісні значення параметрів, які входять до цієї функції, визначаються за даними експерименту.

Припустимо, що виникло п відмов і, отже, маємо ряд напрацювання Т_о1, Т_о2, Т_о3, … Т_оп пристрою. Потрібно перевірити гіпотезу про те, що статистичний розподіл напрацювання апарата узгоджується з якимось відомим законом.

Розбиваємо вісь часу (від 0 до ∞) на k інтервалів Δt[(0,t₁), (t₁, t₂)…(t_k-2, t_k-1), (t_k-1, ∞)]. Розраховуємо теоретичну ймовірність Р_і потрапляння в і-й інтервал при одному досліді. Підрахуємо кількість п_і напрацювання, які попали в і-й інтервал.

Тоді при перевірці такого узгодження з використанням критерію χ² Пірсона вираховується ймовірність:

 

 (27)

 

де  – міра розбіжності;

χ² – функція щільності розподілу, яка розраховується за формулою для всіх k інтервалів:

 

, (28)

 

Де п – загальна кількість відмов; п_і – кількість відмов в і- му інтервалі; Р_і – ймовірність потрапляння відмов в і-й інтервал; k – кількість інтервалів статистичного ряду.

Функція розбіжності К_r(U) запишеться як:

 

 (29)

 

де кількість ступенів свободи розподілу.

Для розподілу χ² складені спеціальні таблиці, користуючись якими можна для кожного значення χ² та кількості ступенів свободи r знайти ймовірність  Якщо ймовірність  то слід вважати невдалим вибраний теоретичний розподіл. У протилежному випадку вважається, що вибраний теоретичний розподіл узгоджується з експериментальним і може бути прийнятим.

Схема застосування критерію χ² за оцінкою узгодження теоретичного та статистичного розподілу:

- визначається χ² за формулою (28);

- знаходиться кількість ступенів свободи

- за знайденою величиною r та χ² за таблицями визначаємо ймовірність ;

- якщо  гіпотеза відкидається як неправдоподібна, при  гіпотезу можна визнати такою, яка не суперечлива дослідним даним.

 

Контроль надійності

 

Контроль надійності має своєю метою перевірити гіпотезу про те, що надійність не нижче встановленого рівня. При цьому кінцевим результатом, як правило, є одне з двох рішень: прийняти партію, вважаючи надійність апаратури задовільною, або забракувати контрольовану партію апаратури як ненадійну. Оскільки контроль надійності проводиться на основі випробовувань визначеної вибірки, то під час прийняття рішення можливі два види помилок:

- помилка першого роду – коли добра партія бракується;

- помилка другого роду – коли погана партія приймається.

Ймовірність помилки першого роду називається ризиком виробника, позначимо її літерою α.

Ймовірність помилки другого роду називається ризиком споживача, позначимо її літерою β.

Існують три основних методи контролю надійності:

- метод одноразової вибірки (одинокий контроль);

- метод дворазової вибірки (подвійний контроль);

- метод послідовного аналізу.

Кожен з цих методів має свої переваги і недоліки та може бути використаний у тому або іншому конкретному випадку. Найбільше розповсюдження в практиці контролю надійності отримали одинокий та метод послідовного аналізу. Це пояснюється тим, що метод подвійного контролю потребує більшого часу контролю та більш складних розрахунків. Цей метод ми розглядатимемо.

Найбільш економічним методом контролю надійності є послідовний. Метод послідовного контролю надійності застосовується на стадіях технічного проекту або робочої конструкторської документації дослідного зразка виробу. А тому при випробовуванні дослідного зразка апаратури перевага надається методу послідовного аналізу. Метод же одноразової вибірки використовується під час випробовування серійних зразків.

Сукупність умов випробовування контрольних апаратів і правил прийняття рішень називається планом контролю.

Під сукупністю умов випробування розуміються умови бракування і приймання, задані значення α та β, обсяг випробовувань тощо. Правила прийняття рішень визначаються методами контролю.