Процессов и структура подсистем САПР (2 ч) 4 страница

                      (7.1)

где Х_о - множество функций, возлагаемых на объект проектирования;

Y₀ - условия реализуемости проекта (производственная база, достигнутый уровень научно-технических разработок);

Z_o - множество рассматриваемых концепций проекта;

V_o - допустимые варианты проекта среди рассматриваемого множества возможных вариантов;

U_o - критерии, оценивающие предпочтительность допустимых вариантов проекта;

W_o- правило выбора наиболее предпочтительного варианта проекта из множества допустимых вариантов;

- рациональный вариант проекта.

Этот кортеж охватывает, по существу, основные этапы выбора концепции проекта будущего объекта. Осуществление этих этапов в автоматизированном режиме формирует исходные предпосылки для построений общей структуры процесса автоматизированного проектирования с последующей его детализацией на соответствующие горизонтальные и вертикальные уровни.

Каждый уровень детализации может быть представлен в виде аналогичного кортежа.

По результатам членения проектируемого объекта, основанного наинформации о структуре математической модели, описывающей функционирование объекта и отражающей взаимосвязи между его элементами, формируются соответствующие программные модули.

Между каждой парой проектных модулей имеют место два вида связей - информационная и организационная, первая из которых несет сведения о результатах выполнения на каждом модуле проектных процедур, а вторая обеспечивает управление решением проектных задач. Наличие таких связей вызывает необходимость согласования автономного функционирования проектных модулей.

Так возникает еще одна группа задач в САПР, которые называются задачами согласования. Организация решений задач согласования должна обеспечить выполнение условия: результаты решения проектной задачи в предположении ее решения без членения на подзадачи, т. е. на отдельные процедуры, должны совпадать с результатами решения той же задачи на базе агрегированных моделей, полученными путем выполнения  проектных операций.

Задачи согласования могут быть подразделены на задачи горизонтального и задачи вертикального согласования.

Задачи горизонтального согласования имеют целью согласовать результаты функционирования двух «равноправных» проектных модулей, тогда как основная цель задач вертикального согласования состоит в согласовании работы двух проектировщиков, один из которых имеет право «решающего голоса», а другой получает от него соответствующие директивы информационного или организационного характера.

На горизонтальном уровне согласование направлено, в основном, на увязку результатов получаемых при выполнении проектных процедур одного горизонтального уровня; здесь каждый проектировщик имеет право «равного голоса».

Следует отметить, что порядок согласования информационных связей существенно зависит от принятой схемы проектирования нисходящего или восходящего.

Таким образом, взаимосвязи между проектными решениями происходят как от верхних уровней к нижним, так и от нижних к верхним. Связи каждого из этих видов в общем случае не остаются постоянными, изменяясь с изменением постановки проектной задачи: одни связи могут исчезать и могут появляться новые связи.

 

7.2 Типовые проектные процедуры в САПР

Типовые проектные процедуры предназначены для многократного использования при проектировании многих классов объектов. К таким процедурам могут быть отнесены процедуры анализа, синтеза и оптимизации.

Дадим в начале определение некоторым терминам и понятиям, которые встретятся нам при описании указанных процедур.

Термин переменная означает любую варьируемую величину. Если варьирование переменной происходит независимо от других величин, такую переменную называют независимой переменной. Если величина изменяется при изменении одной или большего числа независимых переменных, то она называется зависимой переменной.

Если некоторая величина, оказывающая влияние на другую величину изменяется случайным образом и ею нельзя управлять со стороны, она называется внешней переменной. К таким переменным можно, в частности, отнести параметры внешней среды, с которой взаимодействует, рассматриваемый объект (или, в нашем случае - объект проектирования). Поэтому параметры, т. е. величины, характеризующие свойства внешней среды, принято называть внешними параметрами. В отличие от параметров среды параметры взаимодействующего с ней объекта называются внутренними параметрами.

Если мы рассматриваем систему «объект - внешняя среда», то свойства этой системы, являющиеся результатом взаимодействия составляющих ее частей (объекта и среды) характеризуются так называемыми выходными параметрами. К числу выходных параметров системы можно отнести количество произведенного продукта и его характеристики, себестоимость и прибыль, количество и состав вредных выбросов в окружающую среду и др. Характеристики качества проектируемых объектов также относятся к выходным параметрам.

Пример. Рассмотрим работу каталитического реактора, который представляет собой аппарат с мешалкой, снабженный теплообменной рубашкой, в котором под действием катализатора происходит химическая реакция между компонентами исходной смеси, в результате чего образуется смесь с отличным от исходного содержанием компонентов.

Выходные параметры - выход и состав образующейся смеси.

Внешние параметры: примеси в сырье; температура теплоносителя; активность катализатора, которая меняется со временем, температура окружающего реактор воздуха (она хотя и оказывает влияние на процесс, но очень незначительное, так как аппарат снабжен рубашкой, и контролировать ее в данном случае нецелесообразно).

Внутренние параметры: геометрические размеры корпуса и мешалки;  скорость вращения вала, расходы сырья и теплоносителя и т.д.

    Перечисленные входные и выходные параметры не исчерпывают всего возможного перечня. В каждом конкретном случае их число и состав может меняться в зависимости от решаемых задач.

При блочно-иерархическом проектировании внутренние параметры в моделях k -го иерархического уровня становятся выходными параметрами в моделях более низкого (к +1)- го иерархического уровня.

Проектные процедуры анализа. Процедуры анализа сводятся к исследованию функционирования объекта, для которого известны его значения параметров. При решении задач анализа используются математические модели, описывающие свойства объекта и среды, с которой объект взаимодействует.

Проектные процедуры анализа могут быть одновариантными и многовариантными.

Одновариантный анализ позволяет получить информацию о выходных параметрах объекта для заданной отображающей точки в пространстве состояний объекта и обычно сводится к однократному решению системы уравнений (в частности, обыкновенных дифференциальных уравнений), представленных в нормальной, линеаризованной или алгебраизованной форме.

Типовыми задачами одновариантного анализа являются;

1. Анализ статического состояния.

2. Анализ переходного процесса.

3. Анализ частотных характеристик.

4. Анализ устойчивости.

5. Анализ стационарных режимов колебаний.

Для решения задач анализа статики в качестве математической модели могут быть использованы системы линейных алгебраических уравнений, которые могут быть представлены в обычной или матричной форме. Для решения задач анализа переходных процессов используются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Анализ частотных характеристик процесса выполняется с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений или с помощью математических моделей, представленных в форме передаточных функций W(S) или частотной характеристики W(iω), где ω - частота внутренних колебаний системы; i - мнимая единица;  - комплексная переменная. Передаточная функция представляет собой отношение выходной величины Y(S) к входной величине X(S), преобразованных по Лапласу. Частотная характеристика представляет собой отношение тех же величин амплитуд вынужденных колебаний) Y(iω)  и  X(iω), преобразованных по Фурье.

При использовании обыкновенных дифференциальных уравнений свойства объекта исследуются во временной области, при использовании передаточных функций свойства объекта исследуются в комплексной области, а при использовании частотных характеристик свойства объекта исследуются в частотной области.

Устойчивость (или стабильность) системы характеризует такое поведение системы, при котором ее движение, начавшись внутри некоторого фазового пространства, никогда его не покидает. Простейшим случаем устойчивого состояния системы является равновесие. Условия устойчивости могут определяться различными критериями.

При многовариантном анализе решение системы тех же уравнений многократно повторяется при варьировании внутренними и (или) внешними параметрами, т. е, в этом случае свойства системы исследуются для некоторой области пространства состояний. Типовыми процедура многовариантного анализа являются анализ чувствительности и статистический анализ, при котором требуется получить информацию о рассеянии (дисперсии) выходных параметров относительно номинальных значений.

Для анализа чувствительности математической модели, выражаемой дифференциальными уравнениями обычно применяются численные методы, при использовании которых задаются приращением  входного параметра и определяют соответствующее изменение , выходного параметра, после чего определяется коэффициент чувствительности :

.                                    (5.2)

Пользователь по своему усмотрению с учетом программных возможностей ЭВМ для реализации математической модели, описывающей свойства проектируемого объекта, может использовать различные численные методы решения уравнений. При этом, однако, нужно принимать во внимание эффективность метода, которая характеризуется:

экономичностью, т. е. затратами вычислительных ресурсов ЭВМ (машинного времени и машинной памяти) на применение метода;

надежностью, которая оценивается как вероятность получения правильных результатов при использовании метода для решения данного класса задач;

точностью результатов, получаемых при использовании метода; определяемая погрешность решения задачи не должна превышать допустимые пределы.

Проектные процедуры синтеза. Проектные процедуры синтеза к построению структуры объекта, например, разработка кинематической схемы машины или механизма, и определению параметров объекта, которые обеспечить заданные условия его функционирования.

Если задачи анализа с оценкой проектных решений, то задачи синтеза связаны с нахождением проектных решений в виде описания проектируемого объекта.

Процедуры синтеза делятся на процедуры структурного и параметрического синтеза. Целью структурного синтеза является определение структуры объекта (набора составляющих его элементов и связей между ними) при известных параметрах объекта. Целью параметрического синтеза является определение числовых значений параметров элементов объекта при известной его структуре.

На рисунке 5.2 указаны некоторые классы задач, которые решаются при анализе и синтезе объектов проектирования.

Процедуры оптимизации. При проектировании любых технических объектов оптимизация структуры объекта и его параметров является одной из наиболее важных задач, решаемых в ходе проектирования.

Получение оптимальных решений при проектировании связано с постановкой оптимизационных задач и применением различных методов их решения. В зависимости от характера и назначения проектируемого объекта и требований технического задания (ТЗ) выбирается критерий оптимальности или формируется целевая функция, определяются ограничения, накладываемые на решение задачи (такие ограничения могут быть связаны с производственными возможностями, с требованиями стандартизации, с физическими принципами, положенными в основу функционирования объекта).

После этого формируется математическая модель оптимизационной задачи, в которой критерий оптимальности и величины, на которые накладываются ограничения, выражены в функции независимых переменных проектирования, которые и подлежат определению.

В задачах оптимизации, в которых ограничения имеют вид уравнений, количество ограничений п не может быть больше числа переменных т.е. п<т. Разность (т-п) определяет число степеней свободы в данной задаче. Только (т-п) переменных берутся произвольными и их значения определяются из условия достижения критерием оптимальности экстремального значения; значения же остальных переменных находятся из системы ограничений, определяя допустимую область решений.

Если т = п, то число степеней свободы равно нулю и задача в этом случае становится чисто алгебраической, в которой все переменные определяются из уравнений, а оптимизация целевой функции не требуется (свободные переменные отсутствуют).

Таким образом, математически формализованная задача оптимизации должна содержать:

перечень переменных проектирования, т. е. параметров, значения которых должны быть определены в ходе решения задачи, а также допустимую область изменения этих параметров;

нормативные (директивные) параметры, значения которых задаются однозначно или множеством (массивом) возможных значений;

математическую модель, содержащую связи переменных проектируемого объекта друг с другом и с нормативными параметрами.

Удовлетворение этим связям свидетельствует о выполнении условия непротиворечивости значений переменных проектирования друг другу и нормативным параметрам. Эти условия являются обязательными при оптимальном проектировании.

С учетом математической постановки задачи и математической модели, положенной в ее основу, выбирается тот или иной метод ее решения.

 

Лекция 8

Тема: Математическое моделирование объектов  проектирования. Основные понятия и определения (2 ч.)

План лекции: Математическое моделирование и основные определения. Некоторые виды представления математических моделей объектов проектирования. Особенности построения математических моделей сложных объектов

8.1  Математическое моделирование и основные определения

Любое количественное изучение процесса возможно лишь в том случае, если определены те величины, которые характеризуют его с количественной точки зрения. Каждое мгновенное состояние системы, соответствующее некоторому фиксированному моменту времени, описывается набором чисел, например а₁,а₂,.,.,а_п, которые называются параметрами системы. Если процесс рассматривается как последовательная смена состояний системы во времени t, то величины a_l (t),a₂(t),..,a_n(t) оказываются функциями времени t. Величины вида a_l (t),a₂(t),..,a_n(t), описывающие процесс функционирования системы, называются характеристиками процесса. Величины, определяющие начальное состояние системы, называются начальными условиями.

    Под математической моделью реальной системы (процесса) понимается совокупность соотношений (имеющих, например, форму уравнений, неравенств, логических условий и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, исходными данными и начальными условиями.

    Таким образом, математическая модель, это некоторый условный (формализованный) образ объекта (системы), поставленный в соответствие данному реальному (физическому) объекту. Процесс исследования объектов на математических моделях называется математическим моделированием.

    Метод математического моделирования включает все действия, связанные с предварительным изучением объекта, выделением его наиболее существенных характеристик, экспериментальным определением численных значений параметров объекта, включаемых в математическую модель, с построением самой модели и, наконец, с ее реализацией на ЭВМ и анализом полученных результатов.

    Построение математической модели является одной из наиболее ответственных и сложных фаз моделирования. Построение модели всегда влечет немало вопросов, например, такие:

1. Грамотно ли с математической точки зрения составлена система соотношений, образующих математическую модель?

2.  Имеет ли эта система решение и если имеет, то единственно ли оно? (Если задача состоит в нахождении решения , где x – исходные данные задачи, y – ее решение, φ – функциональная связь между x и y, то такая задача считается корректно поставленной, когда решение задачи а) существует; б) единственно; в) устойчиво по отношению к возмущениям).

3. Можно ли указать точнее аналитическое решение задачи для каких-то частных случаев? (Это очень важно при исследовании сложных систем, расчет которых проводится численными методами. Проведя для таких систем численный расчет и сравнив результаты с аналитическим решением, можно судить, во-первых, о правильности выбранного метода расчета и, во-вторых, аналитические, хотя и более грубое решение задачи, позволяет лучше выявить связи между входными и выходными величинами системы и учесть их при построении общего алгоритма задачи).)

4. Нельзя ли ради того, чтобы решить полученные уравнения более простыми методами, как-то упростить их, например, опустив тот или иной член?

При этом надо иметь ввиду, что такое упрощение равносильно некоторому допущению о характере исследуемой системы и, следовательно, принимая его мы очерчиваем границы применимости математической модели. Очевидно, что результаты решения задачи на такой модели нельзя распространять за эти границы.

Существенное значение при построении математических моделей имеет выбор математического аппарата. Например, в задачах статики обычно используются алгебраические уравнения, в задачах динамики механических систем - дифференциальные уравнения (обыкновенные или с частными производными), при исследовании стохастических систем - аппарат теории вероятностей и методы статистического моделирования.

Построив математическую модель, нужно проверить её на адекватность, чувствительность и устойчивость.

Адекватность модели определяется точностью совпадения выходных параметров модели и объекта, описываемого этой моделью. Если значение выходного i -го параметра, - значение того же i -го параметра объекта, то относительная погрешность

.                                    (8.1)

Погрешность модели по совокупности учитываемых т параметров

                                  (8.2)

При заданной допустимой погрешности   должно выполняться

условие

Чувствительность модели характеризует, как изменяются выходные параметры модели при различных вариациях входных параметров.

Устойчивость модели определяет, насколько изменяется выходная величина при изменении входной величины, вызванным погрешностью измерений или упрощением соотношений, входящих в математическую модель.

Правильно построенная и удовлетворяющая указанным требованиям математическая модель позволяет не только описать поведение и свойства объекта в данной конкретной ситуации, но и предсказать, как объект будет себявести в данных условиях при изменении его параметров.

Один и тот же объект может описываться различными моделями, отличающимися как используемым математическим аппаратом, так и степенью детализации описываемых свойств объекта, набором учитываемых параметров и характеристик.

 

8.2 Некоторые виды представления математических моделей объектов проектирования

Проиллюстрируем построение математической модели объекта на следующем простом примере.

Пусть груз, масса которого равна т, колеблется на упругой опоре (например, на рессорной подвеске), жёсткость которой равна с (здесь т и с - параметры рассматриваемой системы). При этом со стороны опоры на груз действует сила упругости

                                                   (8.3)

где  -отклонение центра масс груза от положения равновесия в момент времени t.

В соответствии со вторым законом Ньютона произведение массы груза т на его ускорение. j равно действующей на груз силе, т. е.

F = mj,                                                          (8.4)

где

                                                   (8.5)

Из сопоставления выражений (8.3), (8.4) и (8.5) следует

                                     (8.6)

Разделив обе части уравнения (8.6) на т и обозначив

                                            (8.7)

получим

                                       (8.8)

Уравнение (8.8) представляет собой знакомую из механики запись уравнения свободных колебаний системы.

Решая это уравнение для начальных условий

при ; , получим

                          (8.10)

                 (8.11)

Как видим, здесь характеристики системы у = x(t) и выражены через её параметры т и с и начальные условия (  и ) и в силу этого уравнения (8.10) и (8.11) представляют собой математическую модель данной системы.

Но в качестве математической модели может быть принята и исходная модель, составленная из первоначальных соотношений (8.3), (8.4) и (8.5) или уравнение (8.6), полученное путем преобразования исходной модели к виду, удобному для интегрирования.

 

8.3 Особенности построения математических моделей

 сложных объектов

При моделировании относительно сложных систем (или процессов) систему можно расчленить на отдельные подсистемы (подпроцессы) и для каждой из них выбрать характеристики , , ,…, , а вкачестве параметров -некоторые величины d₁, d₂,..., d_k. Bэтом случае математическая модель системы (процесса) может быть записана в виде системы соотношений:

                      (8.12)

Однако, для того, чтобы такая математическая модель могла быть реализована, необходимо, чтобы функции f₁, f₂,…, f_n были известны (хотя бы приближённо). Но на практике модели такого вида, когда характеристики системы являются явными функциями от ее параметров и времени, встречаются весьма редко и также редки случаи, когда сложная система может быть описана соотношениями типа (8.12).

В этом случае исследуемую систему S мысленно расчленяют на ряд подсистем   таким образом, чтобы построение математической модели каждой из подсистем было заведомо возможно. Пусть характеристиками подсистем будут функции , а в качестве параметров – величины .

При сделанных предположениях математические модели для подсистем S_i могут быть выражены соотношениями

                   (8.13)

Так, для подсистемы математическая модель представится системой уравнений:

            (8.14)

подсистемы :

             (8.15)

 

для подсистемы :

           (8.16)

Но совокупность моделей вида (8.13) для подсистем S_i, рассматриваемых совместно для всех i = 1,2,.. .т, в общем случае ещё не составляет математическую модель для всей системы. Эта совокупность пока характеризует лишь отдельные изолированные подсистемы S_t

Поэтому, помимо соотношений (6.13) необходимо иметь соотношения вида

          (8.17)

связывающего характеристики подсистем S_i с характеристиками х₁, x₂,…x_n системы S.

Для получения общего вида уравнений модели для сложных систем обычно прибегают к предварительному построению так называемых эквивалентных схем, с помощью которых легче установить физический смысл математической модели и её структуру.

 

Лекция 9

Тема: Классы математических моделей. Способы реализации математических моделей на ЭВМ (2 ч.)

План лекции: Классы математических моделей. Формализованные (эквивалентные) схемы объектов проектирования. Способы реализации математических моделей на ЭВМ. Формализация проектных процедур и объектов проектирования в САПР.