2020-04-20
112
Устойчивость модели определяет, насколько изменяется выходная величина при изменении выходной величины, вызванным погрешностью измерений или упрощением соотношений, входящих в математическую модель.
Правильно построенная и удовлетворяющая указанным требованиям математическая модель позволяет не только описать поведение и свойства объекта в данной конкретной ситуации, но и предсказать, как объект будет себя вести в данных условиях при изменении его параметров.
Таким образом, математическая модель реальной системы (процесса) это совокупность соотношений (имеющих форму уравнений, неравенств, логических условий и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, исходными данными и начальными условиями.
Математическим описанием объекта можно считать систему уравнений:
Уi=Fi (Х,Н). (11.3)
Конкретный вид функции системы можно получить, исходя из двух принципиально разных подходов: структурного и эмпирического.
|
|
|
Для целей моделирования используют пассивные и активные эксперименты. В пассивных экспериментах нет возможности выбирать условия опыта по своему усмотрению и устанавливать значения факторов на желаемом уровне. В активных экспериментах опыты проводятся по заранее разработанному плану, выражающему количество опытов и значения факторов в каждом опыте.
План, содержащий запись всех комбинаций факторов или их части в кодированном форме, называют матрицей планирования. Таблицы планов можно найти в специальной литературе
Для нахождения вида уравнений системы (11.3) обычно пользуются тем, что большинство функций, встречающиеся на практике можно разложить в степенной ряд Тейлора. Если ограничится несколькими первыми членами ряда, то функция отклика будет представлена многочленом (полиномом) вида:
У=bо+b1х1+b2х2+bnхn+b11х12+b22х22+bnnхn2+b12х1х2+b13х1х3+…
+b1nх1хn+b111х13+bnnnxn3+…, (11.4)
где bi, bij и т.д. – эмпирические коэффициенты.
Выбор вида эмпирических формул можно произвести по типичным графикам некоторых формул, приведенных в специальной литературе и некоторых справочниках по математике. Числовые коэффициенты, входящие в формулы, либо определяются непосредственно из графических зависимостей, либо специальными методами – например, методом наименьших квадратов или способом средних.
На использовании метода наименьших квадратов базируется и теория планирования эксперимента, использование которой позволяет при сравнительно небольшом количестве экспериментальных данных рассчитать значения числовых коэффициентов в многочлене вида (11.4), иначе называемом уравнением регрессии. Описание методов планирования эксперимента и рекомендации по их применению можно найти в специальной литературе.
|
|
|
Расчет коэффициентов уравнения регрессии проводят формуле:
(i=1,2,….N), (11.5)
где Yu - среднее значение по параллельным опытам u-той строки
матрицы планирования.
(k=1,2,…N), (11.6)
где m – число параллельных опытов;
Yuk - значение Yu для каждого опыта u-той строки.
Объединив формулы (3) и (4), можно вычислить коэффициенты регрессии:
(11.7)
Так как один фактор влияет на переменную состояния больше, а другой меньше, то необходимо проводить оценку значимости коэффициентов регрессии двумя способами. В обоих случаях сначала находят дисперсию коэффициентов регрессии по формуле:
, (11.8)
Т.е. дисперсии всех коэффициентов равны, поскольку зависят от ошибки опыта S02 и числа строк матрицы планирования N.
, (11.9)
Где N (m-1)=f0 – число степеней свободы.
По первому способу оценивают значимости коэффициентов осуществляют по формуле:
и условию tip>tt, (11.10)
Где 
- абсолютное значение i–го коэффициента регрессии;
tt - табличное значение критерия Стьюдента, которое находится по числу степеней свободы и уровню значимости q(q=0,05);
Sbi - среднеквадратичное отклонение bi.
По второму способу для проверки значимости коэффициентов регрессии используют доверительный интервал 
, который вследствие равенства Sbi2 для всех коэффициентов регрессии одинаков для всех bi. Тогда значимость коэффициентов оценивают, сравнивая абсолютные значения коэффициента и доверительного интервала:
Если выполняется оба условия (11.8 и 11.10), то i–тый коэффициент принимается значимым.
Оптимизация процесса извлечения сахаров.
Алгоритм решения задачи
Исходные данные:
Продолжительность процесса от 15 до 165 мин,
Температура от 50 до 1000С
Гидромодуль от 10 до 20
Выходные параметры:
Выход экстрактивных веществ (y1),
Выход редуцирующих веществ (у2)
Доброкачественность экстракта (уз).
1 Построение матрицы планирования эксперимента
| Опыт | Факторы | |||
| Х0 | Х1 | Х2 | Х3 | |
| 1 | +1 | +1 | +1 | +1 |
| 2 | +1 | -1 | +1 | +1 |
| 3 | +1 | +1 | -1 | +1 |
| 4 | +1 | -1 | -1 | +1 |
| 5 | +1 | +1 | +1 | -1 |
| 6 | +1 | -1 | +1 | -1 |
| 7 | +1 | +1 | -1 | -1 |
| 8 | +1 | -1 | -1 | -1 |
| 9 | +1 | +1 | +1 | +1 |
2 Проведение эксперимента.
3 Расчет коэффициентов уравнения регрессии.
4 Расчет дисперсии.
5 Проверка значимости коэффициентов регрессии.
6 Проверка адекватности линейного уравнения регрессии.
Математическая обработка результатов эксперимента показала, что полученные математические модели адекватно отражают процесс экстракции вегетативной части топинамбура и имеют следующий вид:
для выхода экстрактивных веществ
у1=19,22+0,9х,+1,03х2+1,62х3-0,96х,2-0,06х22-0,06хз2-0,06х1х2+0,02х1Хз+
+0,07х2х3;
для выхода редуцирующих веществ (РВ)
У2=12,60+0,62х1+0,98х2+0,95хз-1,75х12+0,75х22-0,80хз2+0,23х1х2-0,11х1*
*х3-0,26х2х3;
для доброкачественности
Уз=65,69+0,42х1+2,12х2-0,11хз-6,84х,2+5,96х22-3,59хз2+1,53х1Х2-0,76х1*
*х3+1,03х2х3.
Путем изучения одномерных сечений поверхности отклика, полученных из уравнений регрессии, был выявлен характер связи между технологическими параметрами и основными характеристиками полученного экстракта. Установлено, что на выход экстрактивных веществ (рисунок 1) наибольшее влияние оказывает температура процесса и гидромодуль. Аналогичная ситуация наблюдается и в отношении выхода РВ.
Методом сканирования уравнений регрессии с шагом 0,2 были найдены оптимальные условия, которые имеют следующие значения: продолжительность процесса 90 мин; температура 100 °С; гидромодуль 15. Теоретические значения выходных параметров следующие: выход экстрактивных веществ составил 20,19 %, выход РВ - 14,33 % и доброкачественность экстракта -73,77 %. Экстракт, полученный в оптимальном режиме, имел следующий состав: выход экстрактивных веществ 20,24 %, выход РВ 13,65 %, в т. ч. фруктозы 6,62 % с доброкачественностью 70,6%.
|
|
|
Таким образом, теоретические значения показателей экстракта, рассчитанные по уравнениям регрессии, хорошо согласуются с экспериментальными данными, что еще раз подтверждает адекватность математической модели процесса экстрагирования.
Рисунок 11.1 – Влияние технологических параметров на выход экстрактивных веществ
Лекция 12
Тема: Задачи принятия проектных решений в САПР. Оценка альтернативных решений в многокритериальных задач (2 ч.)
План лекции: Основные задачи оптимального проектирования. Задача принятия решений. Математическая постановка задач принятия решений. Критерий оптимальности. Оценка альтернативных решений в многокритериальных задачах.
12.1 Основные задачи оптимального проектирования.
Теория оптимального проектирования представляет собой довольно самостоятельное научное направление, обладающее целым набором методик, каждая из которых выбирается, исходя из характера проектируемого объекта, реализуемых методов проектирования, способов описания объекта и конкретных задач проектирования.
К основным задачам оптимального проектирования относятся:
1) поиск наиболее выгодного технологического способа получения продукта с высоким качеством и высокой производительностью;
2) определение оптимальных геометрических размеров объекта;
3) обеспечение прочности, надежности, долговечности, технологичности, ремонтопригодности ремонтируемого объекта;
4) проектирование самоуправляющейся техники, снабженной компьютерами, процессорами и сенсорными устройствами;
5) комплексное проектирование;
6) конструирование автоматизированных технологических комплексов.
С точки зрения проектирования объектов химической промышленности наиболее интересную задачу представляет определение оптимальных геометрических размеров и параметров функционирования устройств, приборов, машин и аппаратов.
|
|
|
В математическом отношении задача оптимального проектирования сводится к определению условного экстремума (максимума или минимума) функции, которая в том или ином виде выражает эффективность объекта, и поиск его характеристик, обеспечивающих этот экстремум.
Общим для задач принятия оптимальных решений, которые возникают на разных этапах проектирования, является то, что они могут быть сформулированы математически как задача нелинейной оптимизации: для заданной математической модели проектируемого устройства (объекта проектирования) подобрать такие значения варьируемых параметров (геометрических или технологических), которые обеспечили бы экстремальное значение (максимум или минимум) одной из наиболее важных технико-экономических характеристик или глобального показателя качества при условии, что другие характеристик или показатели удовлетворяли бы заданной совокупности технических требований.
Формализация задачи оптимизации формулируется стандартным способом – на основе алгоритма. Формализация позволяет, во-первых, единообразно решать задачи из самых различных областей, и во-вторых, делает возможным широкое использование вычислительной техники, что обеспечивает возможность перебора большого числа вариантов проектных решений и выбора из них лучшего, то есть приводит к резкому повышению эффективности процедуры решения задач.
Задача оптимизации состоит из трех этапов:
1) формулирование задачи в стандартной форме на основе формального подхода;
2) нахождение оптимальных параметров с помощью алгоритма решения оптимизационных задач;
3) реализация этих параметров на практике.
Пример:
Задача оптимизации работы ректификационной колонны. Если в качестве основной характеристики принять чистоту получаемых продуктов наибольшую четкость разделения), то, очевидно, «оптимальным» окажется режим при бесконечном флегмовом числе, то есть без питания и отбора дистиллята. Производительность колонны в таком случае будет равна нулю. Если же в качестве основного критерия принять максимальную производительность, то также придем к абсурдному, хотя и противоположному решению: используя колонну как простой трубопровод, можно обеспечить практически любую производительность, но при этом разделение смеси происходить вообще не будет. Абсолютная неприемлемость этих решений позволяет сделать вывод, что в данном случае необходимо разумное сочетание обоих требований, и хорошо иллюстрирует важность правильного формулирования задачи оптимизации.
Как правило, формулирование задачи оптимизации включает выбор критерия оптимальности, установление ограничений, выбор оптимизирующих факторов и запись целевой функции.
Проектирование технических объектов, как и других систем, имеющих иную природу, это, по сути, процесс последовательно принимаемых решений по результатам выполнения проектных процедур, по завершению отдельных этапов проектирования или проекта в целом.
При определении последующих проектных действий могут возникнуть три ситуации:
а) число допустимых решений п =0.
Это означает, что в рамках рассматриваемой концепции приемлемых решений нет и, следовательно, требования, предъявляемые к проектируемому объекту, невыполнимы;
б) число допустимых решений n = 1.
Это означает, что в рамках данной концепции существует одно единственное решение, которое и нужно рассчитать. В этом случае проектная задача имеет расчётный статус;
в) число допустимых решений п >1.
Это означает, что в рамках данной концепции имеется возможность принятия нескольких проектных решений. В этом случае возникает задача выбора наилучшего или оптимального (по принятому критерию) проектного решения. Такая задача приобретает статус оптимизационной задачи. Выбор оптимальных решений может касаться конструкторских, технологических, экономических и технико-экономических аспектов проектирования.
По форме представления эти решения могут быть описательными, расчётными и графическими.
По характеру обоснования решения могут быть теоретически обоснованными, экспериментально обоснованными и смешанными, обоснованные расчётными и экспериментальными методами.
По возможности использования средств автоматизации для выработки проектных решений различают: полностью автоматизируемые, получаемыми целиком программными средствами, частично автоматизируемые и не поддающиеся автоматизации.
По сложности и качеству решения могут быть: легко осуществимые, но не лучшие; трудно осуществимые и лучшие; неосуществимые, хотя может быть и наилучшие.
Сложность выбора оптимальных решений часто обуславливается тем, что проектировщик (или лицо, принимающее решение - ЛПР) сталкивается с необходимостью заложить такие решения, которые бы удовлетворяли не одному, а нескольким, причём противоречивым, требованиям.
Противоречивыми, например, являются требования повышения прочности и снижения величины массы изделия, т. к. большая прочность обычно достигается за счёт увеличения размеров и массы изделия.
Альтернативными являются и такие экономические категории как производительность и стоимость машины или аппарата, надёжность и стоимость, трудоёмкость и качество продукции, поскольку чаще всего повышение надёжности или производительности оборудования приводит и к повышению капитальных затрат на ее изготовление, а повышение качества продукции обычно связано с увеличением трудоёмкости на ее изготовление.
Как видим, существующие взаимосвязи между параметрами любой технической системы и ограничения, накладываемые на их значения, не позволяют конструктору увеличить, насколько это желательно, все характеристики, возрастание которых повышает эффективность системы, и уменьшает до предела все параметры, минимизация которых улучшает систему. Это приводит к необходимости идти на компромисс и выбирать для каждой характеристики не максимально возможное в принципе значение, а меньшее, но такое, при котором и другие важные характеристики тоже будут иметь приемлемые значения.
12.2 Задача принятия решений
Общая задача принятия решений состоит из двух частей или двух типов задач: задачи выбора возможных решений и задачи оптимизации решений среди выбранных для рассмотрения вариантов. Если при решении первой задачи из множества вариантов N было отобрано n наиболее приемлемых вариантов, то последнее выражается условием 
п е N, т. е. n принадлежит к множеству N.
Частным случаем общей задачи принятия решений является задача принятия решений в условиях неопределённости. Задачи этого типа возникают тогда, когда решения необходимо принимать в условиях не полностью известной ситуации и при отсутствии всей необходимой информации. Такая задача может быть сформулирована как задача поиска одного наилучшего решения на заданном множестве допустимых решений.
Принятие решений в условиях неопределённости хотя и не исключает возможность ошибки, но при правильно выбранной стратегии поиска сводит к минимуму связанные с этим нежелательные последствия.
Математические подходы к решению задач выбора решений в условиях неопределённости, рассматриваются в разделе математики, называемом теорией статистических решений.
Рассматривая методологические аспекты проектирования, мы отмечали две схемы организации процесса проектирования, одну из которых назвали "восходящим" проектированием или проектированием "снизу вверх", а другую схему организации- "нисходящим" проектированием или проектированием "сверху вниз". Этим схемам организации проектирования соответствуют и два подхода к принятию проектных решений - "снизу вверх" или "сверху вниз". Первый из этих подходов применяется в так называемых "открытых системах", обладающих способностью к самоорганизации и саморегулированию. Второй подход применяется в так называемых "закрытых системах", такой способностью не обладающих, т.к. под воздействием установленных сверху догм и ограничений они не могут саморазвиваться и естественным путём переходить от принятого решения к рассмотрению новых вариантов.
В основе подхода принятия решений "снизу вверх" лежит индуктивный метод мышления, когда от знания отдельных фактов (или рассмотрения отдельных элементов проектируемого объекта) переходят к обобщению (или к рассмотрению проектируемого объекта в целом).
В основе "закрытых" систем (т. е. подхода "сверху вниз") лежит традиционное дедуктивное мышление, когда новые знания о предмете выводятся, исходя из уже известных аналогичных предметах того же класса. Это приводит к резкому сокращению рассматриваемых вариантов, среди которых может и не оказаться эффективных решений.
В то же время в "открытых" системах имеется возможность широкого выбора проектных решений с учётом большого числа факторов, отражающих их влияние не только на объект в целом, но и на составляющие его элементы. Это позволяет более широко комбинировать в выборе как структуры, так и параметров проектируемого объекта.
Анализ принимаемых решений на этапе поискового проектирования показывает, что выбор новых функциональных структур проектируемого объекта, т. е. принципиально новых идей, позволяет повысить эффективность применения объекта на один-два порядка, тогда как использование при проектировании объекта идей, заложенных в прежние объекты того же класса и сводящиеся лишь к совершенствованию конструкции объекта, позволяет повысить его эффективность на 10...50 %, а выбор оптимальных параметров при сохранении прежней структуры (конструкции) объекта позволяет повысить его эффективность не более чем на 5... 10 %.
12.3 Математическая постановка задач принятия решений
В теории принятия решений рассматриваются два типа задач: задачи, для которых возможна четкая математическая постановка, и задачи, для которых нельзя чётко формализовано поставить задачу. Решение первых связывается с математическими методами и приёмами исследования операций, понимая под термином "операция" любое мероприятие, действия и процедуры, направленные на достижение поставленной цели. Задачи второй группы решаются в основном эвристическими методами, т. е. методами, в основе которых лежит опыт и интуиция проектировщика.
Основной целью является построение математических моделей проектируемых объектов и процессов и выработка критериев эффективности с целью их оптимизации.
Задачи и методы исследования операций разбиваются на определённые классы в зависимости от типа операции и объекта, для исследования которого они применяются. К ним, в частности, относятся задачи математического программирования, задачи теории массового обслуживания, теории игр, задачи статистического моделирования (метод Монте-Карло), метод комбинаторного анализа.
Задачи, решаемые при проектировании, могут быть детерминированными, для которых все условия полностью известны, и статистическими, содержащими неопределённость.
В детерминированных задачах все факторы, от которых зависит их решение, можно разделить на две группы:
1) заданные, заранее известные факторы, к которым относятся также и ограничения, налагаемые на элементы решения (они имеют вид равенств
и неравенств); обозначим эту группу факторов через α.
Ограничения классифицируют:
а) по математическим признакам:
- ограничения типа равенств (состав сырья, температура и влажность окружающего воздуха, производительность, другие нерегулируемые параметры);
- ограничения типа неравенств (производительность не ниже заданной, температура не выше предельной или не ниже температуры замерзания жидкости или не выше температуры кипения).
б) по виду параметров:
- первого рода, наложенные на геометрические и технологические параметры объекта;
- второго рода, наложенные на показатели качества, в том числе и на критерий оптимальности.
2) факторы, зависящие от решения задачи, т.е. переменные оптимизируемой системы, которые принимают значения, соответствующие искомому экстремуму целевой функции (критерию оптимальности); обозначим эти переменные через х.
12.4 Критерий оптимальности
Критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят об эффективности функционирования объекта проектирования. В качестве критерия оптимальности может выступать либо один из единичных показателей качества (главный), либо какой-то интегральный показатель, либо другой обобщенный показатель качества.
Критерий оптимальности должен удовлетворять трем основным требованиям: единственности, количественности и монотонности.
1. Критерий оптимальности должен быть единственным. Это самое тяжелое требование, так как любого технического объекта судят по многим показателям (например, по производительности, качеству продукта, степени воздействия на окружающую среду и т.д.).
В качестве критерия оптимальности удобно пользоваться экономическими показателями(прибыль, норма прибыли, рентабельность, себестоимость продукции и т.д.), однако чаще всего характер зависимости от параметров объекта довольно сложен и для упрощения задачи чаще используются технологические показатели (производительность, качество продукта и т.д.), так как каждый из них в конечном счете определяет и экономические показатели. При оптимизации производства в целом (цехов, технологических линий) целесообразно применять экономические показатели, а при оптимизации более мелких объектов (участков, аппаратов, узлов) более удобны технологические критерии.
2. Критерий оптимальности должен выражаться количественно, то есть числом (килограммы, тонны, метры, проценты и т.д.), иначе сопоставление различных вариантов будет затруднительно.
3. Монотонность изменения критерия оптимальности при улучшении качества функционирования объекта. С этой точки зрения непригодны те параметры, которые должны иметь строго определенное оптимальное значение, отклоняться от которого нельзя 9например, если содержание какого-либо компонента в продукте строго оговорено техническим заданием, то, очевидно, оно не может выступать в качестве критерия оптимальности, а является ограничением).
Тогда в детерминированных задачах критерий оптимальности выразится функцией
. (12.1)
В статистических задачах, в которых помимо факторов α и х присутствуют ещё неизвестные факторы ξ, критерий оптимальности в общем виде может быть записан так
. (12.2)
Так как здесь величина F зависит от неизвестных факторов ξ, то даже при заданных α и х она уже не может быть вычислена, остаётся неопределённой. В этом случае поиск экстремального значения критерия F сводится к условию: при заданных факторах α, с учётом неизвестных факторов ξ, найти такое решение 
, которое по возможности обеспечивает максимальное (или минимальное) значение критерия эффективности F.
Наличие неопределённых факторов переводит задачу в новое качество: она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределённости.
Могут быть разные подходы к решению задач в условиях неопределённости. В одних задачах имеется возможность фактор неопределённости выразить через статистические характеристики, принятые в теории вероятностей (случайные величины, случайные функции), которые для данного объекта известны или могут быть предварительно найдены. В этом случае показатель эффективности F, зависящий от случайных характеристик, также будет случайной величиной, которую, как известно, нельзя максимизировать или минимизировать и тогда в качестве показателя эффективности в принципе может быть принято её среднее значение (математическое ожидание случайной величины) 
. При этом задача становится детерминированной и в качестве оптимального выбирается решение х, при котором усреднённый показатель эффективности обращается в максимум или минимум:
. (12.3)
Такая оптимизация часто называется "оптимизацией в среднем".
Однако "оптимизация в среднем" не может быть использована при решении задач, в которых неизвестные факторы ξ не могут быть изучены методами теории вероятностей. Для решения таких задач иногда применяются специальные (адаптивные) алгоритмы, когда лучшее решение х достигается постепенно (путём "проб и ошибок"), т. е. направленным перебором отдельных вариантов решения задачи.
Лекция 13
Тема: Концепция оптимального проектирования. Критерии эффективности (оптимальности) в задачах векторной оптимизации (2 ч.)
План лекции: Концепция оптимального проектирования. Задачи условной и безусловной оптимизации. Общие замечания по методам оптимизации сложных систем.
