По переходным процессам
Оформление пояснительной записки.
Пояснительную записку следует оформлять как текстовый документ в соответствии с ГОСТ 2.105 - 95. Она должна содержать титульный лист и текстовую часть с расчетами и электрическими схемами.
Выполняется пояснительная записка на стандартных листах белой бумаги формата А4 с рамкой на каждом листе. На первом листе записки выполняют основную надпись по форме 2, а на последующих – в правом нижнем углу листа ставится порядковый номер страницы. В тексте следует применять научно-технические термины, обозначения и определения, установленные стандартами, а при их отсутствии – общепринятые в научно-технической литературе.
Значения и разъяснения символов и числовых коэффициентов, входящих в формулы, должны быть приведены непосредственно под формулой, и первая строка расшифровки должна начинаться со слов,,где'' без двоеточия после него. Расчеты, выполняемые по формулам, должны включать формулу с буквенными обозначениями, а затем с подстановкой вместо буквенного обозначения числовых значений, используемых в расчете величин. Если величины используются в именованных единицах (Ом, А и т.д.), то именованные значения можно ставить только у конечного значения, полученного по расчетной формуле. Если величины используются в относительных единицах, то размерности не проставляются.
|
|
Схемы должны выполняться в соответствии с требованиями ЕСКД. Все графики и характеристики должны выполняться в координатной сетке в масштабе.
П р и л о ж е н и е П2
Комплексные числа в теории электрических цепей
Переменного тока
1. Форма представления:
A – комплексное число (вектор на комплексной плоскости).
А = а + jв = Aejα = A(cosα + jsinα);
A = a – jв = Ae-jα = A(cosα – jsinα);
A = - модуль комплексного числа;
α = arctg - аргумент комплексного числа;
j = - мнимая единица;
а – вещественная часть комплексного числа;
в – коэффициент при мнимой части комплексного числа (мнимая часть);
Специальные обозначения:
α = Arg(A); a = Re(A); в = Im(A).
Формула Эйлера (доказывается разложением в ряд):
.
Изображение комплексного числа на координатной плоскости (на комплексной плоскости) (рис. 1-П2).
Рис. 1-П2
А 1 = а1 + jв1 = =A1cosα1 + jA1sinα1;
a1 = A1cosα1;
в1 = А1sinα1.
2. Простейшие математические операции.
Комплексное число может не иметь вещественной или мнимой части:
1 = 1 + j0; -5 = -5 + j0;
j = 0 + j1; -j = 0 – j1.
Умножение и деление на чисто мнимое число j:
- умножение на +j равнозначно повороту вектора, изображающего комплексное число на комплексной плоскости, на 900 в положительном направлении (против хода часовой стрелки) (рис. 1 – П2, рис. 3 – П2)
|
|
Рис. 2-П2
А = А . j =
(т.е. умножение вещественного числа А на j переводит вещественное число в чисто мнимое jA).
Рис. 3-П2
;
- деление на +j равнозначно умножению на –j, то есть повороту вектора на угол 900 в отрицательном направлении, так как
3. Понятие оператора поворота.
- оператор поворота вектора А на угол , если вектор А умножается на . При этом модуль вектора остается неизменным. Здесь (.
4. Операции над комплексными числами.
Операции умножения и деления проще выполнять, если комплексные числа представлены в показательной форме:
A . B = A e jα B e jβ = AB e j(α+β);
Операции сложения и вычитания проще выполнять, если комплексные числа представлены в алгебраической форме:
A = a1 + ja2; A + B = (a1 + в1) + j(a2 + в2);
В = в1 + jв2; А – В = (а1 – в1) + j(a2 – в2).
5. Понятие сопряженного комплексного числа.
Комплексное число Â называется сопряженным по отношению к комплексному числу А, если у последнего изменить знак перед мнимой частью на противоположный:
 = а – jв, если А = а + jв;
 = а + jв, если А = а - jв;
 = , если А = Ае jα, и т. п.
6. Умножение на е А:
А = а + jв; B = c + jd.
B · е А = B · еа + jв = B · еа + еjв.
Здесь еа – вещественное число, еjв – оператор поворота на угол в.
Таким образом, вектор В увеличивается по модулю в еа раз и поворачивается затем на угол в, представленный в радианах, см. курс высшей математики.
За единицу измерения угла принимается радиан – угол в 1 рад равен 57,30. Это угол, при котором длина дуги равна радиусу. Так угол 900 соответствует рад, 1800 π рад и т.д.
7. Оператор поворота а.
Поворот вектора на угол 1200 осуществляется умножением его на оператор поворота еj120. В электротехнике этот оператор обозначают буквой а. На рис. 4 -П2
,
тогда
.
Рис. 4-П2
8. Выражения оператора поворота,, а'' в различной форме:
a = еj 120 = -0,5 + j 0,87; a 2 = ej 240 = -0,5 – j 0,87;
-a = 0,5 – j 0,87 = e-j 60; a 3 = 1;
a 2 + a = -1; a 2 + a + 1= 0;
a 2 – a = e-j 90 = 0 - j ; a – a 2 = ej 90 = 0 + j ;
1 – a = e-j 30 = 1,5 – j 0,87; 1 – a 2 = ej 30 = 1,5 + j 0,87.
9. Представление комплексного сопротивления (рис. 5-П2).
Z = R + jX; (XL > 0; XC < 0);
(в данном случае на рис. 5-П2 Х = ХL > 0).
Рис. 5-П2
10. Комплексные параметры электрической цепи переменного тока.
Рис. 6-П2
комплекс тока;
комплексное сопротивление.
По закону Ома комплексное напряжение на участке цепи 1 – 2 (рис.6-П2)
U 12 = I . Z = I . Z
Отставание тока от напряжения равно разности аргументов:
ψu – ψi = (ψi + φ) – ψi = φ.
Комплексная мощность
S = U 12 . Î = U12 .
= U12 . I(cosφ + jsinφ) = P12 + jQ12.
Синусоидальные величины могут быть получены как проекции вращающихся векторов, например (рис. 7–П2):
a = A . sinα = A . sinωt,
где α = ωt – угловое положение вектора, вращающегося со скоростью ω.
Рис. 7-П2
Если к началу времени наблюдения процесса t = 0 синусоидальная величина имела значение А 0 = А . sin α 0, то запись дальнейшего синусоидального процесса во времени имеет вид
a = A sin(ωt + α 0).
Стадия изменения синусоидальной величины, характеризуемая изменением во времени t текущего значения угла (α0 + ωt), называется фазой синусоидального процесса, α0 – начальная фаза.
Вектор, вращающийся в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, с угловой скоростью ω может быть выражен следующим образом:
где А = А∟α0 – комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = 0. Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусоидальной функции.
|
|
Если синусоидальная функция имеет одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью ω = 2πf, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными (f – частота в Гц).
На рис. 8-П2,а показаны две синусоидальные функции
u 1 = U 1 m sin(ωt + ψ 1) и u 2 = U 2 m sin(ωt – ψ 2),
имеющие одинаковую угловую частоту ω. Функция и 1опережает по фазе функцию и 2,причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз:
Этот угол образуют между собой векторы (комплексы напряжений), показанные на рис. 8-П2,б.
Рис. 8-П2
Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенная с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.
Векторное представление синусоидальных функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций. Например, если двум синусоидальным функциям соответствуют комплексные амплитуды А и В, то сумме этих синусоидальных функций соответствует комплексная амплитуда С = А + В.
10. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Рис. 9 -П2
Пусть к последовательной цепи элементов R, L, C (рис. 9-П2) приложено напряжение u = Im(U mejωt) = U m sinωt = Um sin(ωt + ψ). В цепи будет протекать синусоидальный ток той же частоты
I = Im sin(ωt + ψ – φ).
Пусть заданное синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией U mejωt, а искомый синусоидальный ток – комплексной функцией I mejωt; комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно
U m = Um . e jψ; I m = Im . e j(ψ-φ).
Уравнение Кирхгофа для цепи рис. 9 -П2
u = R . i + L
запишем через мнимые части соответствующих комплексов
Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Следовательно, последующая запись будет иметь вид
|
|
.
Полученные уравнения справедливы для любого момента времени, поэтому заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берется мнимая часть, должны быть равны друг другу. Производя с ними операции дифференцирования и интегрирования, получаем
В результате сокращения всех частей уравнения на множитель еjωt получаем алгебраическое комплексное уравнение
или, вводя обозначения ХL = ωL и ХС = получаем
U m = (R + jXL – jXC) I m.
Величину Х = (ХL – XC) называют реактивным сопротивлением, а
Z = R + jX –
- комплексным сопротивлением.
Расчет тока при этом сводится к операции деления
Разделив обе части этого равенства на , получим выражение для действующих значений
По существу это есть выражение закона Ома для участка цепи переменного тока в комплексной форме.
П р и л о ж е н и е П3