Неделя 4. Операция XOR

Четвёртая неделя знаменуется изучением важнейшей для криптографии математической операции, которая называется «Исключающее ИЛИ» и обозначается символом «⊕». Эта операция работает на битах: на вход она принимает два бита, а возвращает один. В результате получается значение 0 тогда, когда оба входных бита одинаковы, и 1, когда входные биты различны. Другими словами, таблица истинности этой операции выглядит следующим образом:

Эта операция обладает одним важным свойством. Если повторно применить эту операцию с тем же самым вторым операндом к одному биту, то в результате вернется первоначальное значение этого бита. Другими словами: (x ⊕ y) ⊕ y = x Это свойство вытекает из ассоциативности операции и того наблюдения, что её применение к двум одинаковым значениям всегда возвращает 0, каким бы ни были эти значения, а если применить эту операцию с некоторым битом и нулём, то в результате получится этот бит. То есть: (x ⊕ y) ⊕ y = x ⊕ (y ⊕ y) = x ⊕ 0 = x.

Как происходит использование этой операции в шифровании? Пусть x – бит открытого текста, а y – бит ключа. Тогда z = (x ⊕ y) – это бит шифрограммы. Как же теперь расшифровать шифрограмму и получить обратно открытый текст? Абсолютно также: x = (z ⊕ y), то есть повторно применить ключ к шифрограмме. Это крайне удобно, поскольку для шифрования и расшифровывания нужна одна и та же операция.

Теперь давайте вспомним способ кодирования, который мы ввели на прошлой неделе. Каждая буква открытого текста была представлена пятью символами 0 и 1, то есть пятью битами. Что интересно, операцию «Исключающее ИЛИ» можно производить побитно, её можно даже применять «в столбик»:

Другими словами, побитное применение операции обозначает, что мы можем применять её к каждому биту, не обращая внимания на остальные, и результат всё равно будет правильным. Здесь нет переносов между разрядами, как при умножении или сложении. Каждая битовая позиция отвечает сама за себя.

Это даёт очень простой способ шифрования текста. Если при помощи двоичного кода перевести открытое сообщение в последовательность нулей и единиц, а потом побитно применить операцию «Исключающее ИЛИ» к этому длинному числу вместе с циклическим ключом, то получится ещё одно длинное двоичное число. Это число можно всё так же перевести назад в буквы, и это получится не что иное, как многоалфавитная замена. Впрочем, ключ можно сделать произвольной длины, в том числе и не кратной числу 5, тогда количество алфавитов в многоалфавитной замене сильно увеличится. Сейчас мы узнали ещё один, причём довольно простой, метод делать то, что мы уже умеем. При этом уже нет никакого резона заниматься арифметикой вычетов или использовать огромную таблицу.

Например, пусть надо закодировать фразу «ЖДИ СИГНАЛ ВО ВТОРНИК» при помощи ключа «ОГОНЬ». В этом случае надо взять и выписать одно под другим два больших числа, а потом применить к ним операцию «Исключающее ИЛИ»:

В итоге получается такая шифрограмма: «ЗАЕНИЕ АОЦОЖ НЧЫКЮ СГ». Её и можно скрывать в тексте при помощи метода стеганографии, описанном для занятий на прошлой неделе.

Однако для занятий с ребёнком на этой неделе я рекомендую использовать ключ длиной в 1 символ. Суть в том, что сейчас юному криптографу важнее научиться использовать операцию «Исключающее ИЛИ», чем заниматься расшифровыванием шифрограммы, закодированной при помощи многоалфавитной подстановки (это всё‑таки довольно сложно делать вручную; и мы этим уже занимались на второй неделе).

Итак, что нужно сделать:

1. Придумать сообщение длиной не более 100 символов, которое подвергнется зашифровыванию и сокрытию.

2. Выбрать число от 1 до 31. Это будет ключ.

3. Перевести придуманное сообщение в двоичный код и применить к нему ключ.

4. Написать письмо и в одном из абзацев спрятать стеганограмму методом, изученным на прошлой неделе.

5. В самом тексте письма в открытом виде в каком‑либо отвлечённом контексте упомянуть выбранное в качестве ключа число. Поскольку в этом упражнении ключом служит одна буква, то упомянуть можно её номер, но не в явном виде, а как‑нибудь хитро (указание на дату рождения, номер дома бабушки или ещё что‑то подобное; название гексаграммы из Книги Перемен, наконец).

Надо отметить, что так же, как и на второй неделе, когда мы изучали арифметику вычетов, можно заранее составить таблицу 32 × 32, в которой выписать все комбинации букв. Пользоваться ей ещё проще, чем предыдущей таблицей, поскольку она симметрична относительно главной диагонали. Кроме того, кодирование и декодирование производятся одним и тем же способом, а не разными, как в арифметике вычетов. Ведь для сложения обратным является вычитание, в то время как для операции «Исключающее ИЛИ» обратной является она же.