Методические указания к решению задачи

Спектральная плотность прямоугольного импульса, симметричного относительно времени t=0 (рис.1а), определяется следующей формулой [1,2]:

Как спектральная плотность любого симметричного сигнала она является вещественной функцией. Функция  является знакопеременной функцией частоты (рис.2).

f

 

Спектральная плотность U₁(f) принимает значения равные нулю при частотах nf₁ , где f₁=1/τ_и, а n – целые числа начиная с единицы. На рис.2 пронумерованы целыми числами области по частотам: n - область занимает диапазон частот от (n-1)f₁ до nf₁. Отметим, что в нечетных областях спектральная плотность U₁(f)>0, а в четных областях U₁(f)<0.  Спектральную плотность можно записать как U₁(ω)=|U₁(ω) | exp(iφ(ω)), где вещественная функция частоты |U₁(ω) |   является амплитудо-частотной характеристикой (АЧХ), а функция φ(ω) является фазо-частотной характеристикой. Угол φ(ω) является начальной фазой гармонического колебания с частотой ω, входящего в состав сигнала. Общепринято начальную фазу относить к диапазону углов от – π до π. Таким образом, в качестве амплитудо-частотной характеристики для симметричного импульса выступает функция:

|U₁(f) |= ,

а фазо-частотная характеристика для симметричного импульса будет такой: для частотных областей  c нечетными n функция φ(ω)=0, а для частотных областей с четными n функция φ(ω)=π.

Для несимметричного импульса (рис.1б) в соответствии с теоремой о сдвиге [1] спектральная плотность U₂(ω)= U₁(ω)exp(-iωτ_и/2). Амплитудо-частотная характеристика при этом не изменяется, так как |U₂(f) | = |U₁(f) |. А фазо-частотная характеристика в частотной области с номером n будет иметь следующий вид: φ_n (f)=π[(n-1)-f τ_и].

Эффективная ширина спектра прямоугольного импульса Δf=f₁=1/ τ_и.

При расчете спектральной плотности пачек видеоимпульсов спектральную плотность первого импульса в пачке обозначают S₁(ω), тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на период Т (в сторону запаздывания), S₂(ω) = S₁(ω)e^-iωT, для третьего – S₃(ω) = S₁(ω) e^-i·2ωT

Для группы из N импульсов спектральная плотность равна

S_N (ω = S₁(ω) [1 + e^-i·ωT + e^-i·2ωT + ….+e^{-i(N-1)ω T}]= S₁(ω)

На частотах, отвечающих условию ω =к·2π/T, где k – целое число, S_N(ω)= S_N (k·2π/T) = NS₁ (k·2π/T), т.е. спектральная плотность пачки импульсов в N раз больше  спектральной плотности одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с частотами k·2π/T складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2π. При частотах ω =m , где   m –целое число, такое, при котором величина  m/N не является целым числом, суммарная спектральная плотность S_N (ω) равна нулю. При всех других значениях частот модуль S_N(ω) можно приближенно считать равным модулю спектральной плотности одиночного импульса.

Пример. На рис.3а,б показана спектральная плотность для двух пачек видеоимпульсов из трех (рис.3,а) и четырех (рис.3,б) импульсов в пачке со скважностью в обоих случаях Q=3.

        

 

 

 

Задача 4

Амплитудные спектры сигналов угловой модуляцией.

Формулировка задачи

1.Рассчитать спектры фазомодулированных (ФМК) и частотно-модулированных (ЧМК) колебаний при одинаковых несущих частотах f и уровнях напряжений U. Для ФМК заданы индекс модуляции m и частота модуляции F₁, а для ЧМК – девиация частоты f_д и частота модуляции F₂.

2.Построить спектры ФМК и ЧМК по результатам расчетов.

Значения f, U, m, F₁ , f_д, F₂  взять из табл.5,6.

Таблица 5

Последняя Цифра зачетки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
U,В	60	50	45	40	35	30	25	20	15	10
f,МГц	60	95	90	80	70	65	75	80	85	100

 

Таблица 6

Предпоследняя цифра зачетки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
F1, кГц	3	6	10	8	4	7	5	9	4	2
m	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
fд, кГц	70	30	50	40	60	45	75	35	55	65
F2, кГц	7	3	5	4	6	4,5	7,5	3,5	5,5	6,5

 

       Методические указания к решению задачи

    Практическая ширина спектра при однотональной угловой модуляции, т.е. при ФМ и ЧМ, определяется числом N гармонических составляющих, равным N= 2(m+1)+1. Учитывается m+1  гармоника справа от несущей частоты и m+1  гармоника слева от несущей. Расстояние по частоте между соседними гармониками есть F- частота модулирующего сигнала. Поэтому ширина спектра сигнала с однотональной угловой модуляцией будет Δf=2(m+1)F.

Амплитуда каждой составляющей спектра определяется как                 U_n= U |I_n (m)|,

где I_n (m) – функция Бесселя, значения которой даны в табл.7 для m=5

Таблица 7

n	0	1	2	3	4	5	6
In(m)	-0,18	-0,33	0,047	0,37	0,39	0,26	0,13

     Например, спектры ФМК для F₁ = 10 и 5 кГц отличаются тем, что между соседними спектральными линиями будут в первом случае 10 кГц, а во втором - 5 кГц.

    Для частотно-модулированного колебания индекс модуляции находят как m =  Значения I_n (m) для m=10 приведены в табл.8.

Таблица 8

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
In(m)	-0,25	0,044	0,26	0,06	-0,22	-0,23	-0,014	0,22	0,32	0,29	0,21	0,12

 

Задача 5