Изучение температурной зависимости электрического сопротивления металлов и сплавов

1. Цель работы:

Ознакомление с методикой измерения, получение температурной зависимости электропроводности образцов металлов и сплавов. Определение температурного коэффициента сопротивления разных материалов.

Приборы и принадлежности: Образцы проводников металлов и сплавов, термопарный термометр, прибор для измерения электрического сопротивления, печь для нагрева образцов.

Краткая теория

2.1. Классическая теория электропроводности металлов

     Классическая электронная теория металлов развита Друде, Томсоном и Лоренцем. Согласно этой теории электронный газ в металле рассматривается как идеальный газ, и к нему применяют законы классической механики и статистики. В отсутствие внешнего электрического поля свободные электроны в металле совершают хаотическое тепловое движение, не создающее направленного переноса электрического заряда. При наложении электрического поля Е на каждый электрон действует сила

 

F = – eE

 

направленная против поля и приводящая к возникновению электрического тока. Движение электрона в кристалле представляет собой сложное движение вследствие постоянного его столкновения с ионами в узлах кристаллической решетки. Между двумя актами столкновения электрон ускоряется. В конце длины свободного пробега λ под действием силы F электрон приобретает скорость направленного движения

где m – масса электрона; а - его ускорение; τ – время движения электрона между двумя столкновениями.

Величина τ называется временем свободного пробега. В результате столкновения с ионом скорость направленного движения электрона обращается в нуль, и процесс ускорения начинается заново. Поэтому средняя скорость направленного движения будет равна:

.

Выразим время пробега как

                                         ,      

где - средняя скорость теплового движения электронов.

Подставив в предыдущую формулу, получим скорость направленного движения электронов под действием электрического поля

                                     ,                                          (1)

Величина отношения   называется подвижностью носителей заряда. Подвижность численно равна скорости направленного движения зарядов в электрическом поле, напряженность которого 1 В/м.

Используя формулу (1) найдем подвижность электронов в металле

                                        (2)

В электрическом поле движение электрона является сложным движением, представляющим собой наложение хаотического теплового движения  и направленного движения со скоростью . Электрическое сопротивление металла обусловлено столкновениями электронов с ионами, образующими кристаллическую решетку, и выходом их из общего направленного потока. Чем чаще электрон сталкивается, тем выше электрическое сопротивление металла.

     При средней скорости упорядоченного движения  через площадку в 1 м², расположенную перпендикулярно к потоку, за 1 секунду пройдут все электроны, заключенные в параллелепипеде с ребром . Объем этого параллелепипеда равен , число электронов в нем – , где n – концентрация электронов в металле. Эти электроны перенесут заряд, равный . Тогда плотность тока в проводнике будет равна

 

.  

Откуда для удельной проводимости имеем   

                                              (3)

 

Подставляя в эту формулу выражение для подвижности m (2) найдем проводимость металла в виде:

 .                                             (4)

Таким образом, по полученной формуле проводимость металла определяется средней длиной свободного пробега электронов в кристалле и средней скоростью теплового движения.

Согласно представлениям классической теории при движении электроны сталкиваются с ионами, поэтому их средняя длина свободного пробега   должна быть примерно равна межатомному расстоянию в решетке.

Для выяснения справедливости такого предположения, оценим величину , используя экспериментальные данные по проводимости для серебра. Среднюю скорость теплового движения электронов определим из соотношения:

.

Тогда для температуры Т~300 K получим длину свободного пробега электрона .

Эта величина на два порядка больше, чем межатомное расстояние для серебра. Следовательно, экспериментальные значения проводимости металлов могут быть объяснены, если предположить, что длина свободного пробега электрона намного превышает среднее расстояние между атомами. При своем движении электрон не так часто сталкивается с ионами в узлах кристаллической решетки, как предполагает классическая теория. Прежде чем столкнуться с ионом электрон пролетает в кристалле значительное расстояние, равное примерно 100 межатомным расстояниям. Этот удивительный факт классическая теория объяснить не в состоянии.

     Следующее затруднение классической теории сводится к температурной зависимости электрического сопротивления. Согласно классической теории средняя длина свободного пробега  не зависит от температуры и примерно равна межатомному расстоянию в кристалле. Поэтому, согласно формуле (4) температурная зависимость сопротивления определяется температурной зависимостью скорости теплового движения . Тогда удельное сопротивление согласно классической теории должно изменяться в соответствии с выражением . Однако, экспериментальные данные показывают, что сопротивление металлов в широком интервале растет линейно с температурой .

     Перечисленные трудности классической теории электропроводности свидетельствуют о том, что основное допущение этой теории – рассмотрение свободных электронов металла как частиц идеального газа, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана, является неправильным.

2.2. Квантовая теория электропроводности металлов

     Согласно квантовой теории электроны проводимости металла образуют не классический газ, а вырожденный электронный газ, подчиняющийся квантовой статистике Ферми-Дирака. Теплоемкость такого газа составляет всего 0,01R на один моль вещества. Поэтому при обычных температурах электронный газ почти не дает вклада в теплоемкость, т.е. молярная теплоемкость металла практически равна теплоемкости решетки (3R).

     Квантово-механический расчет электропроводности металлов провел Зоммерфельд. Для проводимости он получил следующую формулу:

,                                        (5)

которая формально похожа на классическую формулу (4).

Однако здесь  - средняя длина свободного пробега электронов, обладающих энергией Ферми , т.е  - относится не ко всем электронам, а только к тем, которые имеют энергию равную энергии Ферми.

Аналогично, здесь  - средняя скорость электронов, имеющих энергию Ферми. В классическую формулу (4) для электропроводности входит средняя скорость теплового движения всех электронов  , которая определяется заданной температурой. В отличие от нее, скорость Ферми  практически не зависит от температуры.

Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами. Движение электронов проводимости в металле рассматривается как процесс распространения электронных волн. Длина этих волн определяется соотношением де Бройля

,

где h – постоянная Планка, m и V – масса и скорость электрона.

Согласно квантовой теории идеальная кристаллическая решетка, в узлах которой находятся неподвижные атомы, не рассеивает электронные волны и не оказывает сопротивления движению электронов. Рассеивание электронов возникает лишь с появлением в решетке центров рассеивания – неоднородностей, по размерам превосходящих длину электронных волн.

Такими центрами могут быть искажения решетки, обусловленные тепловыми колебаниями атомов, которые называют фононами. Тепловые колебания приводят к возникновению микрообъемов, в которых плотность либо выше средней плотности вещества, либо ниже средней плотности вещества. Вследствие этого плотность твердого тела меняется при переходе от одного микрообъема к другому. Размеры таких микрообъемов превышают длину электронных волн. Поэтому они являются центрами рассеяния электронных волн. Такой механизм называют рассеяниемнафононах.

Согласно расчетам по квантовой теории средняя длина свободного пробега электронов, обусловленная рассеянием на фононах, будет равна

 ,

 

где n - число атомов в 1м²; G - модуль упругости кристалла;   а - параметр решетки.

Откуда получим проводимость

.                                             (6)

Таким образом, по квантовой теории , что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

     Кроме тепловых колебаний решетки источником рассеяния электронных волн являются примесные атомы. Атомы примеси искажают решетку основного металла и действуют как рассеивающие центры. Таков механизм рассеяния на примесях. Поэтому при наличии примесей коэффициент рассеяния складывается из коэффициента рассеяния, обусловленного тепловыми колебаниями атомов или фононами η_ф, и коэффициента рассеяния, определяемого примесями η_п:

η = η_ф + η_п.

При не слишком низких температурах для фононного коэффициента рассеяния выполняется соотношение   η_ф ~ T. Величина коэффициента рассеяния на примесях η_п – пропорциональна концентрации примесей и не зависит от температуры.

Соответственно, для удельного сопротивления выполняется соотношение:

,

где ρ_ф – удельное сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки; ρ_п – удельное сопро-тивление, обусловленное рассеянием электронов на атомах примеси.

2.3. Сверхпроводимость

     При понижении температуры электрическое сопротивление у большинства чистых металлов плавно снижается к нулю. Однако у некоторых металлов, сплавов и соединений при приближении к абсолютному нулю температуры удельное сопротивление уменьшается не плавно, а падает резко скачком до нуля (рис.1). Эти материалы называются сверхпро-водниками, асамо явление - сверхпроводимостью. Температура, при которой сопротивление становится равным нулю, называется критической температурой. Харак-терные значения критической температуры для различных металлов и сплавов находятся в интервале от 1 К до 20 К. 

В сверхпроводящем состоянии необычным образом изменяются и другие свойства вещества. В магнитном поле при переходе в сверхпроводящее состояние происходит выталкивание магнитных силовых линий из объема сверхпроводника. Поэтому внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю. Это явление было открыто Мейснером и называется эффектом Мейснера.

Сверхпроводящее состояние может быть разрушено сильным магнитным полем. Величина магнитного поля, выше которого сверхпроводимость разрушается, называется критическим магнитным полем.

     Другие экспериментальные исследования показывают, что при переходе в сверхпроводящее состояние у чистых металлов резко уменьшается теплопроводность. Это свидетельствует о том, что свободные электроны, ответственные за основной перенос тепла в металлах, при переходе в сверхпроводящее состояние перестают взаимодействовать с решеткой и участвовать в переноса тепла.