Количественные характеристики процесса излучения

 

     Как уже было отмечено, в процессе теплообмена излучением от одного тела к другому переносится определенное количество энергии или теплоты Q_Σ, Дж. На самом деле реальные системы, в которых имеет место теплообмен излучением, состоят более чем из двух тел. Например, внутреннее рабочее пространство печи для нагрева металла под прокатку или другие виды обработки металла давлением в простейшем случае можно рассматривать как систему, состоящую из боковых стен печи, подины, свода, поверхности нагреваемого металла и объема излучающего газа. В этом случае суммарное количество теплоты Q_Σ можно рассматривать по-разному. Например, как количество теплоты, переданной металлу только от объема излучающего газа, или только от свода, или от всех внутренних поверхностей рабочего пространства и т.д.

     Интенсивность процесса переноса энергии излучением характеризуется понятиями потока энергии излучения Q, Вт, и плотностью потока энергии излучения q, Вт/м².

     Поскольку в конечном счете в процессе теплообмена излучением тела обмениваются энергией в виде теплоты, в дальнейшем вместо термина «энергия» будем использовать, где это возможно, термин «теплота».

     Потоком энергии излучения называется количество теплоты, переносимого через некоторую поверхность F, м², за единицу времени по всем направлениям полусферы:

Q = QΣ  / t

(2.1)

где t – время процесса, с.

     Плотностью потока энергии излучения q, Вт/м², называется количество теплоты, которое переносится через единицу поверхности в единицу времени по всем направлениям полусферы:

q = QΣ  /(F · t) = Q/F

(2.2)

     Формула (2.2) справедлива для случая, когда плотность потока равномерно распределена по всей поверхности. При несоблюдении этого условия формула (2.2) должна записываться в виде

q = dQ/dF

(2.3)

Величина q, определяемая выражениями (2.2) и (2.3), называется поверхностной плотностью потока энергии интегрального излучения.     

     Если теплообмен излучением рассматривается в узком спектральном диапазоне длин волн dλ, то используется понятие поверхностной плотности потока энергии спектрального излучения q_λ, Вт/м³

qλ = d2Q/(dF·dλ) = dq/dλ

(2.4)

     В дальнейшем все характеристики спектрального излучения будем снабжать индексом λ.

     Величина q_λ чаще всего называется спектральной плотностью потока энергии излучения и служит для оценки интенсивности излучения в зависимости от длины волны.

     В общем случае распределение интенсивности излучения энергии по различным направлениям в пределах полусферы может быть неравномерным. Для описания этого распределения используется понятие угловой плотности потока энергии излучения q_ω, Вт/(м² · ср) – количество тепла, которое излучается в заданном направлении единицей поверхности в единицу времени в пределах единичного телесного угла

qω = Q/(F·ω) =

(2.5)

Поскольку величина q_ω по поверхности тела меняется, то формула (2.5) записывается в виде

qω = d2Q /(dF·dω) = .

(2.6)

     Таким образом, угловая плотность потока энергии излучения характеризует распределение энергии излучения в пределах телесного угла в выбранном или в заданном направлении.

     Если известно распределение угловой плотности потока энергии излучения в пределах полусферы, т.е. в пределах телесного угла ω=2π стерадиан, то величина q определяется выражением

q =

     Величина телесного (пространственного) угла определяется как отношение величины площади проекции поверхности, вырезаемой конусом круглого поперечного сечения с вершиной в центре сферы на поверхности сферы, к квадрату радиуса сферы r. Поскольку площадь поверхности сферы равна 4πr², то величина телесного угла всей сферы равна ω=4πr²/r²=4π стерадиан.

     Угловая плотность потока энергии излучения реальных тел зависит от направления, под которым наблюдается площадка dF, или, другими словами, от угла наблюдения θ. Направлению наблюдения, совпадающему с нормалью к площадке dF (θ=0), соответствует максимальное значение угловой плотности потока энергии излучения; направлению по касательной к площадке dF (θ = ) соответствует нулевое значение величины q_ω. Если величина q_ω не зависит от угла θ, то такое излучение называется изотропным или диффузным.

        Закон Ламберта

     Для реальных тел зависимость q_ω от θ представляется формулой закона косинусов или Ламберта

qω = B ·cos θ,

(2.7)

где величина B, Вт/(м²·ср), называется яркостью излучения и зависит от угла наблюдения θ. Яркость излучения не зависит от угла наблюдения только для идеализированных тел – абсолютно черного и серого, свойства которых будут рассмотрены ниже. В расчетах иногда допускают, что реальные тела являются диффузно излучающими, в этом случае в формуле (2.7) B= const. На самом деле для реальных тел яркость зависит от угла θ и эта зависимость определяется свойствами реального тела.

     Уравнение (2.7) позволяет получить формулу для угловой плотности потока энергии излучения

или, окончательно

(2.8)

где dF_n=dF· cosθ – проекция площадки dF на направление излучения, составляющему угол θ по отношению к направлению нормали к этой площадке.

     В соответствии с формулой (2.8) под яркостью излучения понимается количество теплоты, излучаемое в единицу времени в пределах единичного телесного угла единицей площади поверхности, перпендикулярной выбранному направлению излучения.

     Если рассматривается спектральное излучение в интервале длин волн dλ, то используется понятие спектральной угловой плотности потока энергии излучения q_ωλ, Вт/(м³·ср).

qωλ =

и спектральной яркости излучения B_λ, Вт/(м³·ср).

В случае диффузного излучения B_λ= const и по аналогии для интегрального излучения B_λ=q_λ/π.

 Виды лучистых потоков и связь между ними

     При взаимодействии электромагнитных волн (излучения) с веществом имеют место процессы поглощения, отражения, пропускания, преломления и рассеяние излучения. Каждый из этих процессов характеризуется своим параметром, величина которого зависит от свойств самого вещества. Совокупность этих параметров называется радиационными характеристиками веществ.

     Теплообмен излучением предполагает наличие, как было отмечено ранее, минимум двух тел. Рассмотрим некоторое тело, температура которого отличается от абсолютного нуля, находящееся в системе других излучающих тел (рис.3.1). На поверхность рассматриваемого тела падает поток энергии излучения Q ^пад. Не рассматривая процессы взаимодействия излучения с веществом, можно в общем случае сказать, что часть падающего потока энергии отразится от поверхности, часть поглотится телом и превратится в тепло, часть будет пропущена телом. Поток энергии, отраженный от поверхности, обозначим Q ^отр, поглощенный телом – Q ^погл, пропущенный телом – Q ^проп. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать

Q пад = Q от р + Q погл + Q проп

(3.1)

     Поскольку температура рассматриваемого тела выше абсолютного нуля, то оно излучает собственную энергию, поток которой обозначим Q ^соб. Следовательно, с поверхности тела уходит два потока – Q ^соби Q ^отр. Сумма потоков энергии собственного и отраженного излучения называется эффективным потоком энергии излучения Q ^эф

Q эф = Q отр + Q соб

     Из рис.3.1. следует, что на поверхность тела падает Q ^пад, а с поверхности уходит Q ^эф. Разность между падающим и эффективным потоками называется результирующим потоком энергии излучения Q ^рез

Q рез = Q пад –  Q эф

     Таким образом, теория теплообмена излучением оперирует семью видами потоков энергии излучения.

       Закон сохранения энергии для процесса излучения

     Закон сохранения энергии, записанный выражением (3.1), можно представить в другом виде, разделив левую и правую части этого выражения на Q ^пад:

1 =

(3.2)

или

1 = R + A + D

(3.3)

где

R =  – отражательная способность тела;

А =  – поглощательная способность тела;

D =  – пропускательная способность тела.

     В соответствии с уравнением (3.2) единице равна сумме отражательной, поглощательной и пропускательной способностей, поэтому возможны следующие предельные случаи.

     Существуют тела, которые поглощают падающею на них энергию не тонким поверхностным слоем, а объемом; такие тела называются полупрозрачными (стекло в расплавленном и твердом состоянии, газы с трех- и более атомными молекулами – СО₂, Н₂О, SO₂ и смеси этих газов, полупрозрачные синтетические пластики, тонкие слои жидкой воды и др.). Для таких тел практически можно пренебречь отражением, т.е. R =0 и, следовательно, А+D= 1.

        Поглощательная, отражательная и пропускательная способность тела

     Большинство твердых тел являются непрозрачными, поглощают энергию тонким поверхностным слоем и не пропускают падающую на них энергию. Для непрозрачных тел D =0 и A+R =1.

      Существуют тела, которые не поглощают падающую на них энергию, А =0, и не отражают ее, R =0. Такие тела называются лучепрозрачными или диатермичными, для них D =1 (одно – и двух атомные газы – аргон, кислород, водород, азот и др.)

     Тела, для которых А =1 и R=D =0, называется абсолютно черным, они поглощают всю падающую на них энергию; в природе абсолютно черных тел нет. Если R =1 и A=D =0, то такие тела называются абсолютно отражающими. Тела с рассмотренными предельными свойствами в природе отсутствуют, хотя для некоторого диапазона длин волн они имеют место.

     Используя понятия A, R, и D, можно получить связь между отдельными видами лучистых потоков, которое часто используется в теории теплообмена излучением. Например, результатирующий поток можно определить следующим образом

Q рез =Q пад –Q эф = Q пад – (Q соб + Q отр )=Q пад –Q соб –RQ пад=(1 –R) Q пад – Q соб

Для твердых или жидких непрозрачных тел (например, жидкие металлические расплавы, шлаки) D =0 и следовательно, A = 1 – R, тогда

Q ^рез =АQ ^пад –Q ^соб.

Или

Q рез =Q погл –Q соб.

(3.2)

     Равенство Q ^рез=0 означает, что Q ^пад =Q ^эф или Q ^погл =Q ^соб. Этот случай имеет место для адиабатной поверхности, т.е. поверхности, полностью теплоизолированной от окружающей среды. Для адиабатной поверхности энергия собственного излучения количественно равна энергии поглощенного излучения.

     В расчетах теплообмена излучением часто используется связь между тремя видами потоков: Q ^эф, Q ^рези Q ^соб. По определению

Q ^эф =Q ^соб +Q ^отр = Q ^соб +RQ ^пад

Для непрозрачных тел D =0, следовательно

Q эф =Q со б +(1–А)Q пад

(3.3)

С другой стороны

Q рез =Q пад –Q эф

тогда

Q пад =Q рез +Q эф

Подставляя значение Q^пад в выражение (1.13) можно записать

Q эф =Q соб+(1 –А)(Q рез +Q эф)

или

Q эф =Q соб +Q рез –АQ рез +Q эф –АQ эф

откуда

Q эф –Q эф +АQ эф=(1 –А) Q рез +Q со б

Окончательно запишем

Q эф = Q рез +

(3.4)

     Это выражение, так же, как и выражение (3.3), справедливо для случая, когда поглощательная способность одинакова по всей поверхности тела.

     Заметим, что для тел, полностью поглощающих всю подающую на них энергию, т.е. для которых А= 1 и R=D =0 (абсолютно черные тела)

Q эф = Q соб

(3.5)

Это выражение справедливо и для тел, которые не отражают падающую на них энергию (например, чистые не запыленные газы)

     Для спектрального излучения справедливы все вышеприведенные рассуждения; в этом случае все величины потоков снабжаются индексом «λ».

     Что касается спектральных радиационных характеристик тел, то они определяются следующим образом:

А_λ =  – спектральная поглощательная способность;

R_λ =  – спектральная отражательная способность;

D_λ =  – прпускательная способность тела.

     Как и для интегрального излучения, предполагается что величины спектральных плотностей потоков энергии , , ,  равномерно распределены по поверхности, на которую падает излучение .

     Для газов, содержащих мелкодисперсные частицы (твердые, жидкие) используется понятие «ослабленный поток» как сумма поглощенного и рассеянного потоков. Величина ослабленного потока выражает общую потерю энергии при прохождении излучения через поглощающую и рассеивающую среду. Если рассеяние отсутствует или им можно пренебречь (чистые газы), то энергия первоначального потока уменьшается только за счет поглощения энергии электромагнитного излучения атомами и молекулами газа, т.е. поглощающими центрами.

     Поток энергии излучения, который изымается только за счет рассеяния энергии на частицах по всем направлениям (аналог отражения) называется рассеянным потоком.

 Основные законы излучения абсолютно черного тела

     Как уже было отмечено выше, процесс теплового излучения предусматривает последовательное превращение кинетической энергии микрочастиц вещества в энергию их возбужденного состояния и затем в энергию электромагнитного излучения, которая и переносится в пространстве до момента встречи с поверхностью тел, составляющих реальную техническую систему. В общем случае взаимодействие излучения с веществом может вызвать, в свою очередь, другие процессы, например, неравновесные процессы излучения (люминесценция, хемилюминесценция, рекомбинационное, ударное и когерентное излучение), а также некоторые изменения в телах (ионизация, электрическая поляризация, химические реакции, фазовые переходы и т.д.).

     Основные законы теплового излучения строго справедливы только для термодинамически равновесного теплового излучения. Как известно из термодинамики, под термодинамическим равновесием понимается внутреннее состояние системы, абсолютно изолированной от окружающей среды, которое характеризуется неизменностью во времени параметров состояния. Если внешняя (окружающая) среда каким-либо образом начинает воздействовать на термодинамическую систему (система перестает быть абсолютно изолированной), то какой-либо параметр или параметры состояния системы изменяются и система переходит в новое состояние, характеризующееся другими значениями параметров состояния.

     Термодинамически равновесное излучение означает, что излучение находится в состоянии равновесия с системой молекул поверхностного слоя вещества, от которого испускается излучение. Предполагается, что акты испускания и поглощения статически независимы, их число равно друг другу, стенки полости непрозрачны, неподвижны и адиабатически изолированы от окружающей среды. Для каждого элемента поверхности тела существует равенство излученных и поглощенных потоков. Что касается объема полости системы, то при условии равновесия излучение, заполняющее область, остается неизменным во времени, внутри полости между различными ее элементами результирующий поток равен нулю. Это возможно, если во всех точках полости величина объемной плотности излучения одинакова, во всех точках поверхности будет одинакова величина поверхностной плотности потока энергии излучения; в каждой точке полости излучение будет изотропно, т.е. испускание энергии происходит с одинаковой вероятностью по всем направлениям, а температура в каждой точке поля излучения одинакова и равна температуре полости в состоянии термодинамического равновесия.

     На практике при наличии теплообмена условие термодинамического равновесия теплового излучения не выполняется, т.к. процессы излучения и поглощения энергии веществом несбалансированны и, как следствие, результат теплообмена не равен нулю.

     В технических расчетах используется гипотеза локального термодинамического равновесия, существо которой заключается в том, что предполагается, что при отсутствии термодинамического равновесия между веществом и излучением, падающим на него, микроскопическое состояние вещества соответствует термодинамическому равновесию при локальной кинетической температуре частиц в данном месте.

     Оценки показывают, что при соотношениях / ÐÐ 1, т.е. малых плотностях результирующего потока энергия, использование гипотезы локального термодинамического равновесия приводит к погрешностям, не превышающей нескольких процентов.

     Расчет теплообмена излучением в реальных системах во многом основывается на законах излучения абсолютно черного тела (а.ч.т.) Выше было показано, что под абсолютно черным телом понимается тело, у которого поглощательная способность А =1. В природе таких тел нет, но созданы различные модели а.ч.т., которое используется при экспериментальном исследовании процессов теплообмена излучением. Понятие абсолютно черного тела впервые было введено немецким физиком Г. Кирхгофом.

     Наиболее совершенной моделью а.ч.т. является полая сфера с шероховатой и зачерненной внутренней поверхностью, имеющая отверстие, диаметр которого существенно меньше внутреннего диаметра сферы (рис.4.1, а). Поглощательная способность полой сферы практически равна единице, так как поток энергии Q ^пад, попавшей через отверстие в полость сферы, будет многократно переотражаться на криволинейной поверхности сферы. При каждом акте переотражения из потока изымается часть энергии, поглощаемая поверхностью сферы. В результате многократного переотражения и поглощения весь падающий поток энергии поглотится, что и соответствует определению а.ч.т. Если сферическую полость теплоизолировать и нагреть с помощью электрических нагревателей, то она будет излучать собственную энергию, а процесс излучения будет описываться законами излучения а.ч.т.

     Другой, но менее точной, моделью а.ч.т. является полость в виде цилиндра круглого поперечного сечения с соотношением внутренней длины l и внутреннего диаметра d l/d ≥10 (рис.4.1, б). При указанных размерах цилиндрической полости вся попавшая в нее энергия Q ^пад поглощается более чем на 90%. Как и в случае сферической модели а.ч.т. поглощательная способность цилиндрической модели будет выше, если внутренняя поверхность полости зачернена и шероховата. Излучение нагретой полости и в этом случае подчиняется законам излучения а.ч.т. В дальнейшем все количественные характеристики излучения а.ч.т. снабжаются индексом ноль («0»).

     Закон излучения Планка. Этот закон получен в 1900 г. немецким физиком М. Планком и описывает зависимость спектральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т. от длинны волны λ при фиксированной температуре Т тела, К

(4.1)

где: с ₁=3,741832·10^-16 Вт·м²; с ₂=1,438786·10^-2 м·К – константы, отражающие физику процесса излучения, в том числе скорость распространения света в вакууме, с=3·10⁸ м/с.

     При расчете величины  температура Т подставляется в градусах Кельвина (К), а длина волны λ в метрах, (м).

     Как видно из выражения (1.16) зависимость  от λ при Т= const имеет сложный характер. При длине волны излучения λ =0 и λ =∞ величина спектральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т. равна нулю. Это означает, что кривая зависимости  от λ имеет максимум (минимума быть не может, так как всегда ≥0 по своему физическому смыслу). При любой фиксированной длине волны в интервале λ =0…∞ повышение температуры а.ч.т. приводит к увеличению . Кроме этого, повышение температуры приводит к смещению максимума этой величины в сторону более коротких длин волн (рис. 4.2).

     Закон смещения Вина. Впервые этот закон был установлен в 1893 году одновременно немецким физиком В. Вином и русским физиком и астрофизиком Б. Голициным. Закон смещения Вина утверждает, что произведение длины волны λ_max, на которой наблюдается максимум излучения а.ч.т., на температуру а.ч.т. есть величина постоянная, т.е.

λmax·T= const

(4.2)

Абсолютная величина константы в правой части уравнения (4.2) может быть найдена, если формулу закона Планка продифференцировать по длине волны и приравнять производную нулю. С учетом этого закона смещения Вина обычно записывается в виде

λmax·T= 2897,82мкм·К

(4.3)

Если принять площадь под кривой закона Планка условно за 100%, то площадь под восходящей ветвью (λ =0… λ_max) составляет 25%, а под нисходящей ветвью (λ = λ_max… ∞) –75% суммарной площади.

     Подставив величину λ_max= 2897,82/ Т в формулу закона Планка, можно получить, что

_{, max}= 21,2

или

,max= 1,286·10-5 ·Т 5 Вт/м3

(4.4)

Закон Рэлея–Джинса. Закон был выведен в 1905 году английским физиком Д. Джинсом независимо от английского физика и астрофизика Рэлея, также открывшего этот закон.

Как следует из уравнения (4.1) при значениях λ·Т>>c₂ или с₂/(λ·Т)<< 1

(4.5)

Из последнего выражения видно, что при одной и той же длине волны спектральная плотность потока энергии собственного излучения а.ч.т. линейно зависит от температуры. При значениях λ·Т> 8·10⁵ мкм·К расчет по формуле (4.5) дает ошибку мене 1% по сравнению с формулой закона Планка.

     Закон Вина. Если λ·Т<<с₂, то и тогда можно пренебречь единицей в знаменателе формулы (1.16). При этих условиях формула (4.6) принимает форму закона Вина

(4.6)

При значениях λ·Т< 3000 мкм·К погрешность расчета по формуле (4.6) не превышает 1% по сравнению с формулой закона Планка.

Закон Стефана-Больцмана. Этот закон был получен до закона Планка экспериментальным путем в 1879 году австрийским физиком Стефаном. Его теоретическое обоснование было проведено также австрийским физиком Больцманом (1884 г.) и Планком (1901 г.). Закон устанавливает зависимость поверхностной интегральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т. от температуры

(4.7)

где: σ₀ =5,67032·10^-8 Вт/(м²·К⁴) – постоянная Стефана-Больцмана. Геометрически величина q ⁰ эквивалентна площади под кривой закона Планка, поскольку величину q ⁰ можно получить путем интегрирования при фиксированной температуре величины q_λ ⁰ в пределах от λ=0 до λ=∞.

     Согласно закону Стефана-Больцмана величина поверхностной интегральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т. определяется только температурой тела и изменяется пропорционально температуре в четвертой степени.

     Для удобства практических расчетов закон Стефана-Больцмана записывается в форме

(4.8)

где: с₀= =5,67032, Вт/(м²·К⁴)

называется коэффициентом излучения а.ч.т.

Закон Ламберта. Закон сформулирован в 1876 году немецким ученым И. Ламбертом на основании исследования отражения света от поверхности. Этот закон утверждает, что для абсолютно черного тела угловая плотность потока энергии излучения пропорциональна косинусу угла падения

(4.9)

где: В ⁰ – яркость излучения а.ч.т. Вт/(м²· ср), не зависит от угла наблюдения, одинакова по всем направлениям излучения в пределах полусферы. Напомним, что такое излучение называется изотропным или диффузным.

Поскольку в пределах телесного угла полусферы ω=2π

то

В0=q0/π

(4.20)

     Закон Ламберта строго справедлив только для излучения а.ч.т. Однако допускается, что он справедлив и для излучения реальных тел. В этом случае погрешность расчета компенсируется упрощением расчетных процедур. Для более точных расчетов требуется учитывать анизотропность излучения реальных тел.

     Закон квадратов расстояний. Этот закон справедлив в том случае, если рассматривается излучение элемента поверхности, величина которой существенно меньше расстояния и в идеале справедлив для точечного источника излучения. Предположим, что электромагнитные волны распространяются в лучепрозрачной среде в телесном угле в форме конуса круглого поперечного сечения, а вершина конуса опирается на точечный источник. Очевидно, что поток энергии излучения остается постоянным для любого расстояния, однако величина плотности потока уменьшается, т.к. увеличивается площадь сечения конуса. Поскольку радиус сечения конуса прямо пропорционален расстоянию от вершины до сечения, а площадь сечения пропорциональна квадрату радиуса, то плотность потока энергии излучения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от источника излучения.

     Если расстояния, на которых определяются количественные характеристики излучения, соизмеримы или меньше размеров излучающей поверхности, то рассматриваемый закон не выполняется.

 Понятие серого тела и степень черноты серого тела

     Рассмотренные выше законы справедливы для излучения абсолютно черного тела. Реальные тела по своим радиационным свойствам далеки от а.ч.т. и к ним непосредственно не могут быть применены законы излучения а.ч.т. Для того, чтобы использовать эти законы, введено понятие серого тела. Серое тело, как и а.ч.т., является идеализированным телом, в природе таких тел нет, однако в определенных диапазонах длин волн и температур излучение реальных тел подчиняется законам излучения серого тела.

     Рассмотрим (рис.4.3) две кривые спектрального распределения плотности потока энергии собственного излучения: = (λ) – кривая 1 для абсолютно черного тела при фиксированной температуре Т и = (λ) – кривая 2 для некоторого тела, имеющего ту же температуру Т. Абсолютно черное тело является максимальным излучателем, поэтому кривая спектрального распределения интенсивности излучения всех других тел при одной и то же температуре лежит ниже кривой закона Планка и эти кривые никогда не пересекаются.

     Для реальных тел отношение величины  /  при переходе от одной длины волны к другой в общем случае изменяется, хотя в некотором интервале длин волн оно может быть и постоянной величиной. Но можно представить себе случай, удовлетворяющий двум условиям. Во-первых, максимумы кривых наблюдаются на одной и то же длине волны λ_max. Во-вторых, соблюдается условие: для каждой длины волны в интервале λ =0…∞ отношение спектральных плотностей потоков энергии излучения / =const, т.е.

(4.11)

Цифрами 1, 2, 3, 4 обозначены условно величины  и  при соответствующих длин волн.

     Если излучение выбранного тела подчиняется двум указанным условием одновременно, то такое тело называется серым телом.

     Величина e_λ = / , равная отношению спектральной плотности потока энергии собственного излучения серого тела к спектральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т., имеющего такую же температуру, что и серое тело, называется спектральной степенью черноты серого тела.

     Как следует из определения величина e_λ серого тела не зависит от длины волны излучения. При изменении температуры тела величина спектральной степени черноты изменяется, т.е. e_λ = e_λ (Т). Очевидно, что если температура серого тела равна абсолютному нулю, то e_λ =0. В предельном случае когда =   e_λ =1. В этом случае серое тело становится абсолютно черным. Таким образом, по абсолютной величине e_λ изменяется от 0 до 1 и не имеет размерности.

     Для реальных тел так же используется понятие спектральной степени черноты, но величина ее существенно зависит от длины волны излучения. Определение понятия e_λ для реальных тел ничем не отличается от приведенного выше определения для серого тела.

     Графически зависимость e_λ от λ для а.ч.т. (кривая 1), серого тела (кривая 2) и реальных тел (кривая 3 и 4) показана на рис.4.4. Видно, что для реальных тел характер зависимости спектральной степени черноты от длины волны излучения носит сложный характер. Как было уже отмечено выше, в определенных интервалах длин волн, определяемых радиационными свойствами конкретных реальных тел, излучение их может рассматриваться как излучение а.ч.т. (например, для тела 4 в интервале от λ ₁ до λ ₂) или как излучение серого тела (например, для тела 3 в интервале от λ ₃ до λ ₄). В справочной литературе практически для всех реальных тел приведены зависимости спектральной степени черноты от длины волны излучения в широком диапазоне изменения температур этих тел.

     В расчетах теплообмена излучением используется понятие не только спектральной, но и интегральной степени черноты серого тела, которая представляет собой отношение интегральной плотности потока энергии собственного излучения серого тела, имеющего температуру Т, к интегральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т., имеющего ту же температуру Т

(4.12)

Геометрически понятие e можно определить как отношение площади под кривой для серого тела к площади под кривой для а.ч.т. (рис. 4.3). Это вытекает из того, что для серого тела

(4.13)

а для а.ч.т.

(4.14)

Следовательно

(4.15)

Поскольку для серого тела e_λ=const, то ее можно вынести за знак интеграла и тогда получим, что

e=eλ

(4.16)

 

 Закон Кирхгофа для излучения серого тела

     Закон был открыт Г. Кирхгофом в 1859 году; он устанавливает связь между способностью тела излучать энергию и поглощать падающую на это тело энергию.

     Рассмотрим систему, состоящую из двух бесконечных близко расположенных твердых непрозрачных тел – серого и абсолютно черного, имеющих одинаковую температуру (рис. 4.5). Теплота из системы не уходит, поскольку рассматриваемые тела хорошо теплоизолированы от окружающей среды. Указанные тела имеют одинаковую температуру, т.е. система находится в состоянии термодинамического равновесия. Предполагается, что радиационные характеристики тел А и R, а так же температура, равномерно распределены по их поверхности, что дает возможность использовать понятие плотности потока энергии.

     Плотность потока q ⁰, ушедшая с поверхности абсолютно черного тела, попадает на поверхность серого тела, частично поглощается им, а частично отражается и, попадая снова на поверхность а.ч.т., полностью поглощается.

                              На основании закона сохранения энергии можно записать

q 0 = q + Rq 0

(4.17)

где: q – интегральная плотность потока энергии собственного излучения серого тела, Вт/м².

     Поскольку для непрозрачных тел D =0, следовательно

R = 1 – A

и тогда

q ⁰ = q + (1 –A) q ⁰

или

q ⁰ – q ⁰ +Aq ⁰ =q

откуда

q/A=q 0

(4.18)

     Уравнение (4.18) является уравнением закона Кирхгофа и утверждает, что для серого тела, имеющего температуру Т, отношение интегральной плотности потока энергии собственного излучения серого тела к интегральной поглощательной способности серого тела равна интегральной плотности потока энергии собственного излучения а.ч.т., имеющего ту же температуру Т.

     Заметим еще раз, что уравнение (4.18) получено для условий температурного равновесия, т.е. когда температуры обоих тел не изменяются в ходе обмена теплотой.

     Из закона Кирхгофа следует важный вывод: если тело мало поглощает, то оно мало излучает и наоборот. Для а.ч.т. А =1, поэтому абсолютно черное тело не только поглощает всю падающую на него энергию, но и максимально излучает, т.е. оно является эталоном излучения.

     Из уравнения (4.18) следует, что q/q ⁰= e, но ранее было получено, что q/q⁰=A, следовательно

А=e

(4.19)

Уравнение (4.19) является важным следствием закона Кирхгофа. Оно утверждает численное равенство для серого тела его поглощательной способности и степени черноты, хотя физический смысл этих понятий совершенно разный.

     Соотношения (4.18) и (4.19) справедливы для любой температуры. Закон Кирхгофа выполняется и для спектрального излучения, т.е.

(4.20)

и

Аλ=eλ

(4.21)

Необходимо заметить еще раз, что интегральные величины А и e зависит от температуры, а спектральные А_λ и e_λ зависит от длинны волны и температуры.

Соотношение между интегральной А и спектральной А_λ поглощательными способностями реальных тел устанавливается, исходя из понятия интегральной поглощательной способности

А=q ^погл /q ^пад

Поскольку

q погл =

(4.22)

и

(4.23)

то

(4.24)

Для серого тела поглощательная способность не зависит от длины волны, следовательно, вынося А_λ за знак интеграла, получим

А=Аλ

(4.25)

     Из формулы (1.39) следует, что интегральная поглощательная способность зависит не только от радиационных свойств самого тела, определяемых зависимостью А_λ от λ, но и от спектрального состава подающего на тело излучения, т.е. от , зависящей от длины волны излучения λ.

 Применение законов излучения а.ч.т. для расчетов излучения серых и реальных тел

     В отличие от абсолютно черного тела, излучение которого определяется только его температурой, излучение реальных тел зависит от таких характеристик как состояние поверхности, микроструктура, толщина слоя, состояние вещества (монолитное диспергированное) и др. Элементарные излучатели реальных тел и сред не имеют одинаковой вероятности испускания всех частот, как это свойственно абсолютно черному телу. Для реальных тел распределение молекул по скоростям их движения (колебания) отличается от максвеловского, а распределение излучателей по возбужденным уровням – от распределения Больцмана. Поэтому реальные тела обладают большим разнообразием их радиационных свойств. Реальные тела обладают селективными радиационными свойствами, т.е. распределение этих свойств по спектру длин волн отличается от распределения для абсолютно черного и серого тел. Угловое распределение излучения реальных тел не подчиняется закону Ламберта, т.е. анизотропно (или неламбертно).

     Законы излучения абсолютного черного тела можно использовать для расчета излучения серых тел.

     В соответствии с определением спектральной степени черноты серого тела e_λ=q_λ/q_λ⁰, следовательно,

qλ = eλ·qλ0=eλ

(4.26)

Максимальное значение спектральной плотности потока энергии собственного излучения серого тела в соответствии с формулой (4.4) равно

qλ,max = eλ· 1,286·10-5· Т 5

(4.27)

Используя закон Рэлея–Джинса (4.5) для серого тела при значениях λ·Т>>с₂, можно записать

qλ = eλ

(4.28)

Если λ·Т<<с₂, то

qλ = eλ·

(4.29)

Используя закон Стефана–Больцмана, для интегральной плотности потока энергии собственного излучения серого тела можно записать

q = e·σ0·Т 4

(4.30)

или

q = e·С 0(Т/ 100)4

(4.31)

Для практических расчетов теплообмена излучением в системе реальных тел часто используется так называемое серое приближение. Это означает, что все реальные тела считаются серыми и используются соотношения (4.26)…(4.31).

     Разумеется, модель серого приближения приводит к меньшим ошибкам расчета в том случае, когда радиационные свойства реальных тел незначительно отличаются от свойств серого тела.