Угловые коэффициенты излучения и их физический смысл

       В теории теплообмена излучением в системах с лучепрозрачной средой рассматриваются три основных угловых коэффициента излучения: элементарный, локальный и средний.

       Элементарный угловой коэффициент излучения d φ используется при анализе и расчете теплообмена излучением между двумя бесконечно малыми (элементарными) площадками dF ₁ и dF ₂, принадлежащим поверхностям F ₁ и F ₂. Он характеризует отношение потока энергии попавшего, например, на площадку dF ₂, ко всему потоку, ушедшему с площадки dF ₁ в пределах телесного угла, равного полусфере. При рассмотренном направлении переноса энергии (от dF ₁ к dF ₂) элементарный угловой коэффициент излучения обозначается d φ₁₂, при обратном (от dF ₂ к dF ₁) обозначается d φ₂₁. Из определения углового коэффициента излучения следует, что он не имеет размерности и по абсолютной величине изменяется от 0 до 1. В общем случае, при наличии n поверхностей, которым принадлежат площадки dF, используется обозначение d φ _ik или d φ _ki, где i= 1, 2, 3, …, k,… n.

       Для вывода формулы, раскрывающей смысл элементарного углового коэффициента, рассмотрим рис 5.1. Пусть имеются две серые произвольно расположенные относительно друг друга поверхности конечного размера F ₁и F ₂, в пределах которых расположены элементарные площадки dF ₁ и dF ₂. Указанные поверхности разделены лучепрозрачной средой, нормали N ₁ и N ₂ расположены в центре элементарных площадок, расстояние между которыми равно r; углы между радиусом - вектором r и нормалями равны  и ; величина пространственного угла, в пределах которого площадка, например, dF ₁ излучается на dF ₂ равна dW ₁.

       Величина элементарного потока энергии излучения , падающего на dF ₂ от всего эффективного потока, уходящего с dF ₁ в пределах полусферы, равна по определению

                                           (5.1)

Поскольку для серых поверхностей , а , то

                                  (5.2)

       В правой части выражения 5.1 произведение представляет величину эффективного потока энергии излучения, ушедшего с площадки dF ₁ в пределах полусферы. Величина

представляет собой долю эффективного потока энергии полусферического излучения площадки dF ₁, попавшую на dF ₂ и называется элементарным угловым коэффициентом излучения с dF ₁ на dF ₂. Как видно, в правую часть последнего выражения входят величины, характеризующие только геометрию системы. При изменении взаимного расположения элементарных площадок изменится и величина , поскольку изменятся величины углов  и  и расстояние r.

       Проводя аналогичные рассуждения для излучения площадки dF ₂ на dF ₁, можно получить

Тогда величина

представляет собой элементарный угловой коэффициент излучения в площадки dF ₂ на dF ₁, смысл которого, естественно, аналогичен смыслу .

       Локальный (местный) угловой коэффициент излучения φ ^|  используется при анализе и расчете теплообмена излучением между элементарной площадкой dF ₁ или dF ₂, принадлежащей поверхности F ₁ или F ₂ и поверхностью F ₂ или F ₁. Он характеризует отношение потока энергии, попавшего, например, на всю поверхность F ₂, ко всему потоку, ушедшему с элементарной площадки dF ₁ в пределах телесного угла, равного полусфере. В зависимости от направления переноса энергии он обозначается φ ^\ ₁₂ (от dF ₁ к F ₂) или φ ^\ ₂₁ (от dF ₂ к F ₁). Совершенно очевидно, что величины локальных угловых коэффициентов излучения зависят не только от взаимного расположения самих поверхностей F ₁ и F ₂, но и от места расположения dF ₁ в пределах поверхности F ₁ и dF ₂ в пределах поверхности F₂. В общем случае при наличии n поверхностей в системе локальные угловые коэффициенты излучения обозначаются φ ^\_ik или φ ^\_ki, где i= 1, 2, 3,…, k,…, n. Как и элементарные, локальные угловые коэффициенты излучения не имеют размерности и по абсолютной величине изменяются от 0 до 1.

       По определению

и

       В правых частях последних двух выражений также присутствуют составляющие, которые характеризуют только геометрию системы, а именно

и

       Эти величины характеризуют долю эффективного потока энергии излучения, падающую соответственно с dF ₁ на всю F ₂ и с dF ₂ на всю F ₁ от всей величины эффективного потока энергии излучения, уходящего в пределах полусферы соответственно с dF ₁ на F ₂ и с dF ₂ на F ₁.

Средний угловой коэффициент излучения φ используется при анализе и расчете теплообмена излучением между поверхностями конечных размеров F ₁ и F ₂. Он характеризует отношение потока, попавшего, например, на всю поверхность F ₂, ко всему потоку, ушедшему со всей поверхности F ₁ по всем направлениям в пределах полусферы. Средний угловой коэффициент излучения обозначается в зависимости от рассматриваемого направления переноса энергии как φ₁₂ (от F ₁ к F ₂) или φ₂₁ (от F ₂ к F ₁), безразмерен, по абсолютной величине изменяется от 0 до 1. В системе из n поверхностей обозначается как φ _ik или φ _ki, где i= 1, 2, 3,…, k,…, n.

По аналогии с двумя рассмотренными выше случаями можно записать

где величина плотности эффективного потока энергии излучения  в общем случае переменна в пределах поверхности F ₁, т.к. могут меняться как температура, так и степень черноты по этой поверхности в различных ее точках. Однако, если считать поверхность изотермической и изооптической, то, вынося величину  из под знака интеграла, можно записать интегральное уравнение в виде

или                        (5.3)

В выражении (5.3) величина

называется средним угловым коэффициентом излучения с поверхности F ₁ на поверхность F ₂. Эта величина определяется только геометрическими параметрами системы и характеризует долю энергии, упавшую на поверхность F ₂, от всей энергии, ушедшей с поверхности F ₁ по всем направлениям в пределах полусферы.

       Аналогично, считая также, что  постоянна в пределах F ₂, можно записать

или

где

называется средним угловым коэффициентом излучения с поверхности F ₂ на поверхность F ₁, смысл которого аналогичен смыслу .

Средний угловой коэффициент излучения используется при практических расчетах, поэтому рассмотрим его более подробно.

Если обозначить эффективный поток энергии излучения, уходящий, например, с поверхности F ₁, через , а часть этого потока, попавшую (или падающую) на поверхность F ₂, через , то в соответствии с определением получим:

φ12=

(5.4)

При противоположном направлении переноса энергии можно написать:

φ21=

(5.5)

В общем случае для системы из n поверхностей справедливы соотношения:

φki=

(5.6)

 

φik=

(5.7)

Обобщая последнее выражение, можно сказать, что средний угловой коэффициент излучения, например, φ_ik, показывает, какая доля эффективного потока энергии излучения i -ой поверхности попала на поверхность k -ую.

 Термин «средний» введен потому, что при использовании понятия потока энергии необходимо помнить, что величина плотности потока энергии может быть неодинакова для различных участков поверхности вследствие неодинаковости радиационных свойств и температуры этих участков и, как результат этого, поток энергии является усредненным по поверхности.

 Основные свойства средних угловых коэффициентов излучения

            Расчет величины средних угловых коэффициентов излучения является сложной и трудоемкой задачей. Однако для простейших систем они могут быть рассчитаны относительно просто, если известны основные свойства средних угловых коэффициентов излучения.

       Свойство взаимности. Это свойство вытекает из определения средних угловых коэффициентов и записывается для пары поверхностей F_i и F_k в следующем виде:

       Обозначения  и , получим

Величина  называется взаимной поверхностью излучения пары тел 1 и 2 или полной поверхностью взаимного обмена между двумя телами.

Свойство невогнутости. Свойство справедливо только для невогнутых, т. е. плоских F ₁ и выпуклых F ₂поверхностей (рис. 6.1). Эффективный поток, уходящий с поверхностей F ₁ и F ₂прямым образом, т. е. в отсутствии других поверхностей, от которых он мог бы отразиться, не может попасть на эти же поверхности. Это значит, что φ₁₁=0 и φ₂₂=0. Для вогнутой поверхности F ₃ часть уходящего с нее потока энергии попадает на эту же поверхность, следовательно, .

       Свойство замыкаемости. Это свойство справедливо только для случая замкнутых систем, т. е. таких систем, из которых энергия не выходит в окружающую среду и в систему из окружающей среды не поступает (рис. 6.2). В этом случае вся энергия, ушедшая с поверхности любого тела, например 4, попадает на все остальные поверхности, в том числе и на поверхность 4, поскольку она вогнута. По существу, свойство замыкаемости является частным проявлением общего закона сохранения энергии. Для каждой из четырех поверхностей можно записать:

φ₁₁+φ₁₂+φ₁₃+φ₁₄=1

φ₂₂+φ₂₁+φ₂₃+φ₂₄=1

φ₃₃+φ₃₁+φ₃₂+φ₃₄=1

φ₄₄+φ₄₁+φ₄₂+φ₄₃=1

В этой системе для плоских поверхностей F ₁, F ₂, F ₃ угловые коэффициенты излучения φ₁₁=φ₂₂=φ₃₃=0, а для вогнутой поверхности F ₄φ₄₄≠0.

В общем виде, для системы из n поверхностей, свойство замыкаемости можно записать следующим образом:

, i= 1, 2, 3,…, k,…, n

(6.1)

Или

(6.2)

Свойство совмещаемости. Свойство определяет связь между угловыми коэффициентами излучения с одной поверхности F ₁ на ряд других поверхностей F ₂, F ₃, F ₄, имеющих общую проекцию F ₀ (рис. 6.3). Для того, чтобы получить замкнутую систему, условно введем замыкающую поверхность F ₅, которая является абсолютно черной поверхностью с температурой существенно более низкой, чем другие поверхности и собственным излучением, которым, следовательно, можно пренебречь. На основании свойства замыкаемости можно записать:

φ₁₂ + φ₁₅=1; φ₁₃ + φ₁₅=1; φ₁₄ + φ₁₅=1; φ₁₀ + φ₁₅=1;

откуда следует, что

φ₁₂=φ₁₃=φ₁₄=φ₁₀.

Из последнего выражения следует, что угловые коэффициенты излучения с поверхности F ₁ на все остальные не зависят ни от формы, ни от размеров этих поверхностей и численно равны угловому коэффициенту излучения с F ₁ на проекцию всех поверхностей F ₀.

       Заметим, что этот вывод справедлив в том случае, когда луч, выходящий из любой точки поверхности F ₁ и падающий на любую точку F ₅, не пересекает поверхности F ₂, F ₃, F ₄, F ₀.

       Свойство затеняемости утверждает, что если между двумя поверхностями F ₁ и F ₂ расположить третье непрозрачное тело с поверхностью F ₃, которое полностью препятствует прямому обмену энергией между F ₁ и F ₂, то

φ₁₂=0; φ₂₁=0.

       Свойство аддитивности. Если рассматривается теплообмен излучение между поверхностью F ₁ и поверхностью F ₄, которая является суммой поверхностей F ₂ и F ₃, т. е. F ₄ = F ₂ + F ₃, то

φ14 = φ12 + φ13

(6.10)

        В заключение подчеркнем два важных момента. Первый - если система состоит из n поверхностей, то число средних угловых коэффициентов излучения, подлежащих определению, равно n ². Второе – рассмотренные выше угловые коэффициенты излучения (элементарный, локальный, средний) и их свойства относятся только к случаю прямого обмена энергией между поверхностями двух тел, без учета переотражения потоков третьим телом.

        Расчет средних угловых коэффициентов излучения для простейших геометрических систем

       Используя свойства средних угловых коэффициентов излучения для простейших систем (рис. 6.4) можно алгебраическим методом рассчитать величины этих коэффициентов.

       Схема а) две плоские близко расположенные бесконечные параллельные поверхности; если пренебречь фактом незамкнутости такой системы, то можно записать очевидные соотношения:

φ₁₁=0; φ₁₂=1; φ₂₂=0; φ₂₁=1.

       Схема б)- плоская поверхность F ₁ замкнута вогнутой поверхностью F ₂. Для такой системы φ₁₁=0; φ₁₂=1; φ₁₂ ∙F ₁=φ₂₁ ∙F₂, следовательно, φ₂₁= ; φ₂₁ + φ₂₂=1, следовательно, φ₂₂ = 1– φ₂₁ = 1 – .

       Схема в) - выпуклая поверхность F ₁ замкнута вогнутой поверхностью F ₂. Для такой системы, как и в предыдущем случае, φ₁₁=0; φ₁₂=1; φ₂₁ = ; φ₂₂ = 1 –  .

       Схема г) - системы из двух вогнутых поверхностей F ₁ и F ₂. В этом случае для определения четырех средних угловых коэффициентов , , ,  необходимо для замыкания системы уравнений иметь дополнительные уравнения. С этой целью введем новую мнимую плоскую поверхность F ₃, которая разделяет поверхности F ₁ и F ₂. В результате получим две замкнутые геометрические системы F ₁- F ₃ и F ₂- F ₃, для которых можно записать следующие угловые коэффициенты излучения: , , , , , , , , .

       Очевидно, что ; ; . Угловые коэффициенты излучения  и  являются вспомогательными и не требуют их вычисления. Для определения оставшихся четырех коэффициентов , , ,  можно расписать систему уравнений.

+ =1

+ =1

+ =1

т.к. =1, то , поскольку + =1, то , то .

       Из соотношения + =1 следует, что .

       Т.к. , то .

       Из свойства + =1 следует

       В этой схеме следует обратить внимание на тот факт, что по свойству взаимности  и тогда = . Это действительно так, поскольку энергия, падающая с F ₁ на F ₂ проходит полностью через поверхность F ₃.

       Аналогично можно показать, что = .

       Для замкнутых систем, состоящих из трех и более поверхностей, расчет средних угловых коэффициентов излучения проводится с помощью стандартных программ при условии, что возможно записать замкнутую систему линейных уравнений.

 

 Постановка задач расчета теплообмена излучением

       Для того, чтобы рассчитать теплообмен излучением, необходимо правильно поставить, т. е. сформулировать задачу. Постановка задачи предполагает запись исходных данных, цели решения задачи и формулировку допущений, принимаемых в задаче. Существуют три постановки задачи расчета теплообмена излучением. Первая или фундаментальная постановка: заданы температуры всех поверхностей системы, форма и размеры поверхностей, степень черноты каждой поверхности; требуется определить результирующие потоки энергии излучения для каждой поверхности. 

Вторая или обратная постановка задачи: заданы результирующие потоки энергии излучения для каждой поверхности, форма и размеры поверхностей, степень черноты каждой поверхности; требуется определить температуру каждой поверхности.

Как видно, при прямой и обратной постановках, всегда задаются форма и размеры поверхностей, т. е. геометрия системы и степень черноты поверхностей.

Третья постановка задачи называется смешанной. Это означает, что для части поверхностей формулируется прямая постановка, а для оставшихся поверхностей – обратная постановка.

 Основные допущения, принимаемые при постановке задач

На практике встречаются все три постановки, но чаще всего – прямая постановка задачи. Что касается допущений, принимаемых в задаче, то они зависят, с одной стороны, от требуемой точности решения, а с другой – от того, насколько точно можно описать систему. В число допущений чаще всего входит равенство температуры по поверхности (допущение изотермичности поверхности), равенство степени черноты по поверхности (допущение изооптичности поверхности), допущение о независимости степени черноты или поглощательной способности поверхностей от длины волны излучения (модель серого приближения).

Кроме того, считается, что все твердые тела непрозрачны, выполняется закон Ламберта как для собственного, так и отраженного излучений. Возможны допущения о независимости степени черноты и поглощательной способности от температуры, а также о стационарности процесса теплообмена излучением, т.е. неизменности температуры поверхностей во времени.

Необходимо заметить, что увеличение числа допущений или даже принятие одного, но грубого – снижает точность решения, хотя и упрощает саму процедуру расчета теплообмена излучением.

Интегральное уравнение с радиационного теплообмена с лучепрозрачной средой

В реальной замкнутой системе, состоящей из поверхностей реальных тел (рис 7.1) имеет место непрерывное распределение по поверхности температур и радиационных характеристик. Предполагается, что поверхность является серой, а ее излучение диффузным. Произвольно выбранная элементарная площадка dF_i обладает собственным излучением, частично отражает энергию, падающую на нее с других элементов поверхности, в том числе и энергию с площадки с площадки dF_i на эту же площадку.

Плотность потока энергии излучения, падающего с площадки dF_k в пределах полусферы в точку М, принадлежащей площадке dF_i, в общем случае равна

                                         (7.1)

где  - яркость падающего в точку М излучения в направлении луча S. Заметим, что, во-первых, яркость излучения на пути от dF_N к точке М не изменяется, поскольку среда диатермична, и, во-вторых , поскольку с площадки dF_N уходит эффективное излучение.

       Интегрирование по телесному углу w можно заменить интегрированием по всей поверхности F системы, зная определение телесного угла, тогда вместо (7.1) можно записать интегральное уравнение радиационного теплообмена

                                       (7.2)

       Выражение (7.2) обычно записывается в виде

                                                 (7.3)

где  является геометрической функцией двух точек M и N, зависит от их взаимного расположения в пределах поверхности F, называется ядром уравнения и обладает свойством взаимности, т.е.

       Указанное свойство ядра уравнения отражает физику процесса переноса теплоты излучением, поскольку излучение можно рассматривать как в направлении - , так и в направлении - .

       Напомним, что  и , поэтому уравнение (7.3) связывает между собой характеристики полей задаваемых при фундаментальной постановке задачи величин (температура и оптико-геометрические характеристики излучающей системы) и полями искомых величин ().

       Принимая допущение о выполнимости условия термодинамического равновесия в анализируемой системе и, следовательно, выполнимости закона Кирхгофа для серых тел, величину А_N поглощательной способности поверхности в точке N можно заменить на -степень черноты поверхности в точке N.

       Решение интегральных уравнений теплообмена излучением осуществляется аналитическими и численными (алгебраическими) методами. Точные решения аналитическим методом можно получить для весьма малых простейших геометрических систем из-за сложных вычислительных процедур. В связи с развитием вычислительной техники в практике технических расчетов радиационного теплообмена чаще всего используются численные методы: метод последовательных приближений и зональные методы, когда линейные интегральные уравнения приводятся к системе линейных алгебраических уравнений.

 Зональный метод решения задач теплообмена излучением в системах с лучепрозрачной средой

В теории теплообмена излучением используются различные методы расчета такие, как метод прямого решения интегральных уравнений переноса теплоты излучением, метод многократного отражения и др. Точные аналитические методы трудоемки и возможны только для простых геометрических систем. Поэтому для более сложных систем используются приближенные аналитические методы.

В последнее время в связи с развитием ЭВМ для решения задач теплообмена излучением в реальных излучающих системах нашли применение численные методы – метод последовательного приближения и зональный метод.

Зональный метод расчета является наиболее простым, наглядным с точки зрения физической сущности и вычислительных процедур.

В реальной системе, состоящей из многих поверхностей, имеет место непрерывное распределение температуры и степени черноты поверхностей. Основная идея зонального метода сводится к тому, что непрерывное изменение температуры и степени черноты заменяется дискретным или кусочно-непрерывным. Для этого вся поверхность системы (рис. 8.1) разбивается на число n отдельных зон; сумма поверхностей всех зон равна поверхности всей системы. В пределах каждой зоны температура T_i и степень черноты ε_i постоянны, при переходе от одной зоны к другой хотя бы один из этих параметров должен меняться. При использовании зонального метода расчета принимается допущение, что в пределах каждой зоны i= 1, 2, 3,…, k,…, n локальный угловой коэффициент излучения равен среднему.

Для вывода основного расчетного уравнения зонального метода рассмотрим теплообмен излучением при фундаментальной постановке задачи.

Поток энергии излучения, падающий на любую поверхность F_k, обозначим . Этот поток складывается из суммы потоков, попавших на k -ую поверхность со всех других поверхностей F_i и, в том числе, с самой поверхности F_k, если она является вогнутой. С поверхности F_i в пределах полусферы уходит эффективный поток , однако на поверхность F_k попадает только часть его, определяемая величиной среднего углового коэффициента φ _ik. Следовательно, величину падающего на k -ую поверхность потока можно записать в виде:

(8.1)

В соответствии с определением результирующего потока для поверхности F_k можно записать:

(8.2)

или

(8.3)

Уравнение (8.3) является основным расчетным уравнением зонального метода расчета теплообмена излучением в системах с лучепрозрачной средой. Видно, что это уравнение является алгебраическим линейным уравнением, поскольку неизвестная величина  стоит в первой степени.

Величины  и  являются известными, их можно представить в виде:

 и , где

При расчетах для того, чтобы не использовать величины , куда входят , используют ранее полученную зависимость:

(8.4)

Считая поверхность каждой зоны серой, выражение (8.4) можно переписать в виде:

,

(8.5)

где  – поток энергии излучения а. ч. т., имеющего температуру этой же зоны

С учетом формулы (8.5) уравнение (8.3) окончательно принимает вид:

(8.6)

 Составление системы зональных уравнений

Уравнения (2.16) и (2.18) являются рекуррентными уравнениями, т. е. такими, в которых изменяются только индексы при переходе от одной зоны к другой. Для примера, напишем систему зональных уравнений для системы из трех зон (n= 3).

Зона 1 (k= 1), i= 1, 2, 3.

(8.7)

    Зона 2 (k= 2), i =1, 2, 3.

(8.8)

Зона 3 (k= 3), i= 1, 2, 3.

(8.9)

В записанной системе уравнений (8.7)-(8.9) неизвестным являются величины , , ; угловые коэффициенты излучения не являются целью решения данной системы и должны быть рассчитаны отдельно.

       Как видно, записанная система состоит из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными, система, таким образом, замкнута, и ее решение возможно с помощью ЭВМ и стандартных программ.

       Решение системы упрощается, если поверхности являются плоскими или выпуклыми. Для таких поверхностей в соответствии со свойством невогнутости средние угловые коэффициенты с поверхности на саму себя равны нулю, т. е. φ₁₁ = φ₂₂ = φ₃₃ = 0.

        Второй способ расчета потока энергии результирующего излучения

       Возможен и другой способ записи зональных уравнений. Ранее было показано, что

.

       Так как по определению

           

,

то

(8.10)

или

.

(8.11)

       Уравнения (8.10) и (8.11) так же являются рекуррентными, должны быть записаны для каждой поверхности, число уравнений в системе равно числу зон реальной геометрической системы, в которой рассчитывается теплообмен излучением.

       Уравнения (8.3), (8.6) и (8.10), (8.11) справедливы и для обратной постановки задачи. Изменяется только цель решения системы зональных уравнений: при заданных значениях  необходимо рассчитать температуру каждой зоны Т_i. Число неизвестных температур Т_i равно числу зон и числу уравнений системы, которая решается с помощью ЭВМ и стандартных программных продуктов.

       Заметим, что в литературе зоны, для которых известны температуры, называются зонами первого рода, а зоны, для которых заданы результирующие потоки - зонами второго рода.

       Для проверки правильности решения задач используется закон сохранения энергии для замкнутых систем: алгебраическая сумма всех результирующих потоков энергии для замкнутых систем равна нулю, т. е.

.

Последнее соотношение верно для случая теплообмена излучением при стационарном режиме, т. е. когда температуры поверхностей не меняются во времени. Расчет теплообмена излучением для нестационарного режима (нагрев или охлаждение тел) ведется по другим методикам.

Зональный метод расчета предполагает, как уже было сказано, разбиение каждой поверхности системы на ряд более мелких изотермических и изооптических зон. Более простой постановкой задачи является случай, когда каждая поверхность одновременно представляет собой одну зону, в этом случае число зон равно числу поверхностей. Разумеется, минимальное число зон равно двум.