Отделение корней (локализация)

Методы решения нелинейных уравнений

 

Постановка задачи

Пусть дано нелинейное уравнение

 

f (x)= 0,                                                 (1.1)

 

где f (x) – функция определённая и непрерывная на некотором промежутке.

   В зависимости от того, какая функция входит в (1.1), уравнения разделяются на два больших класса: алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если она может быть получена из основных функций при помощи последовательно выполненных алгебраических действий: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня и умножения на числовые коэффициенты.

Алгебраическая функция называется рациональной относительно переменной х, если не содержит аргумент под знаком радикала (корня): .

 

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов). Алгебраическая функция называется иррациональной, если содержит переменную х под знаком радикала (корня): .

К трансцендентным функциям относятся все неалгебраические функции (они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

Если вид элементарной функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция. К примеру, - не иррациональная функция, а рациональная, так как .

- не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так как .

Числа a₁,a₂, ...,которые, при подстановке в (1.1), превращают уравнение в верное числовое равенство, называются корнями этого уравнения или нулями функции f (x).

Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения (1.1) обычно состоит из двух этапов:

1-й этап. Отделение корня, т. е. выделение отрезка, принадлежащего области определения функции, внутри которого содержится один и только один корень уравнения (1.1). На этом этапе осуществляется грубое нахождение корней.

2-й этап. Построение процесса, позволяющего найти приближённое значение корня (1.1) с заданной точностью.

 

Отделение корней (локализация)

Отделить корни можно двумя способами - графическим и аналитическим.