Основные положения принципа максимума Понтрягина

Проблема оптимального по времени управления начала интенсивно изучаться математиками в 50-е годы 20 столетия. В 1953-1957 гг. Р Беллман, Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Н.Н. Красовский, Ж. Ла-Саль развили основы теории задачи о минимальном времени перехода. Принцип максимума был впервые провозглашен на международном конгрессе математиков, который проходил в Эдинбурге в 1958 г.

Теоремы принципа максимума справедливы для динамических систем, модель которых можно записать в пространстве состояний:

где  - вектор координат состояния,  - вектор управляющих воздействий, причем , U – множество допустимых значений u. Задача состоит в определении закона изменения управляющего воздействия, которое переведет систему из начального состояния  в некоторое конечное  за время Т, обеспечив экстремальное значение функционалу

.

Введем дополнительную переменную

,

т.е. расширим вектор состояния. Дифференциальное уравнение для новой переменной имеет вид:

.

Тогда расширенная система дифференциальных уравнений запишется в виде:

.

В принципе максимума особую роль играют вспомогательные переменные , и функция

.

Последнее выражение определяет элементы вектора , для которых справедливо следующее выражение

или                     .

Нетрудно видеть, что

,

так как . Запишем полученную систему соотношений

 

          ,

данные уравнения являются канонически сопряженными.

Основная теорема принципа максимума:

Для оптимальности управления u(t) и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной функции , соответствующей функциям u(t) и  в силу уравнений исходной системы, что при любом  , функция переменного достигает в точке  максимума:

.

Последовательность решения задачи с помощью принципа максимума:

1. Модель объекта управления записывается в пространстве состояний и вводится новая переменная состояния:

.

2. Составляется функция Н:

.

3. Определяется значение u(t), максимизирующее функцию Н:

4. Определяются элементы вектор-функции :

.

5. Записывается искомое оптимальное управление через .

Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача нахождения функции u(t), обеспечивающая экстремум функционалу , заменена более простой задачей математического анализа – задачей определения u(t) из условия максимума вспомогательной функции .

Заключение

 

              В учебном пособии использование принципа адаптации рассмотрено на примере синтеза систем прямого адаптивного управления. Основная область применения систем адаптивных систем с эталонными моделями – это управление в условиях действия неконтролируемых возмущений. Известно, в системе с отрицательной обратной связью можно уменьшить чувствительность к вариациям параметров объекта с помощью достаточно большого коэффициента передачи разомкнутой цепи. Однако увеличение коэффициента ограничено условиями устойчивости и рабочими характеристиками. Эти ограничения можно преодолеть в ряде случаев с помощью цепи адаптации. Изменение коэффициента передачи можно выполнить, например, в зависимости от колебательности процессов. На наличие колебаний проверяется либо управляющий сигнал, либо сигнал ошибки.

В рассмотренных классах систем прямого адаптивного управления для реализации регулятора и адаптора требуется текущая информация о координатах состояния или производных выходной переменной. Эта информация может быть получена с помощью наблюдателя в виде асимптотического идентификатора или ФОП. Введение дополнительного динамического звена в обратную связь увеличивает порядок замкнутой системы, кроме того, оно влияет на качество выходных процессов. Особенно это проявляется при ненулевых значениях начальных координатных или параметрических рассогласований. Обладая широкой полосой пропускания, наблюдатели и ФОП ухудшают помехозащищенность систем управления.

Синтез систем, выполненный на основе градиентных процедур и второго метода Ляпунова, предполагает квазистационарность характеристик объекта управления. Как следствие, отсутствуют условия выбора коэффициентов передачи адапторов. Кроме того, идеализация свойств объекта ограничивает возможности адаптивных регуляторов в парировании быстроменяющихся возмущений, если в системе присутствует устройство оценивания координат состояния или производных выходной переменной.

Изменение параметров объекта управления может привести к увеличению амплитуды коэффициентов регулятора не только в переходном, но и в установившемся процессах. Ограничить значения настраиваемых коэффициентов регулятора можно введением нелинейных элементов, например, реле с зоной нечувствительности или усилителя с ограничением.

В системах с вектором скорости (или старшей производной выходной переменной) в алгоритме адаптации темп изменения возмущений учитывается в процессе синтеза системы, а именно при определении значений коэффициентов передачи адаптора. Введение нелинейного звена с релейной характеристикой в адаптор позволяет добиться дополнительных «форсирующих» свойств в контуре настройки коэффициента при ненулевых начальных условиях. Использование вектора первых производных координат состояния позволило получить качественно новые свойства систем данного класса. Желаемое качество выходных процессов обеспечивается при нулевых начальных условиях. Система сохраняет устойчивость независимо от возмущений из заданной ограниченной области. Для успешного парирования возмущений темп изменения коэффициентов регулятора должен быть выше темпа возмущений. Поэтому эти алгоритмы адаптации, в отличие от тех, которые рассмотрены в разделе 3, можно назвать быстрыми. Другой особенностью данного подхода к синтезу является возможность понижения порядка системы за счет уменьшения числа контуров настройки, что показано на примере одноканальных адаптивных систем. Целесообразность использования этого вида адаптивных систем обусловлена жесткими требованиями к динамическим свойствам систем при существенной нестационарности характеристик объектов управления.

Качество работы всех рассмотренных систем в большей степени зависит от амплитуды и в меньшей степени – от частоты параметрических возмущений, если их можно описать гармоническими функциями. Настройка параметров системы осуществляется на наихудший случай. Для уменьшения перерегулирования следует изменять коэффициенты блока желаемой динамики (эталонной модели), относительно рассчитанных значений. Увеличением коэффициентов передачи адаптора можно повысить быстродействие системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учебное пособие для вузов / Д. П. Ким. – М.: Физматлит, 2008. — 328 с.

2. Молоканова, Н. П. Автоматическое управление [Text]: курс лекций с решением задач и лабораторных работ / Н.П. Молоканова. - М.: ФОРУМ, 2016. - 224 с.: ил. - ISBN 978-5-91134-593-8: 493.52

3. Рапопорт, Э. Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами [Text]: учебное пособие / Э. Я. Рапопорт. - М.: Высшая школа, 2009. - 677 с.: ил. - ISBN 978-5-06-006054-6: 1590.05

4. Ким, Д. П. Теория автоматического управления [Text] / Д.П. Ким. Т.2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учебник для вузов / Д.П.Ким. - 2-е изд., испр.и доп. - М.: Физматлит, 2007. - 440 с. - ISBN 978-5-9221-0855-4: 488.29

5. Громов Ю. Ю., Драчев В.О., Иванова О.Г. Основы теории управления: учебное пособие. Тамбов: Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2011 - http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=277972&sr=1

6. Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управления: учебное пособие. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2008 - http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=69284&sr=1

Учебное издание

 

Халапян Сергей Юрьевич

Глущенко Антон Игоревич

 

АДАПТИВНОЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ