Определение параметров адаптора в системе с двумя контурами настройки

Алгоритмы настройки коэффициентов, синтезированные по принципу локализации, могут быть двух видов (4.20), (4.21). Назовем алгоритм адаптации (4.20) «гладким», а алгоритм (4.21)–релейным. Сначала рассмотрим определение параметров «гладкого» алгоритма адаптации. Запишем уравнение системы с двумя контурами адаптации, подставив в него алгоритм управления:

(4.34)

Учитывая введенные ранее обозначения, запишем уравнение связи между координатными и параметрическими рассогласованиями:

где является отклонением настраиваемого параметра адаптивного регулятора от неизвестного параметра объекта Запишем модель системы в отклонениях

(4.35)

так как

Для проверки сходимости процессов выберем функцию следующего вида:

которая является положительно определенной функцией, так как

Полная производная выбранной функции равна

Преобразуем полученное уравнение

(4.36)

Примем коэффициенты передачи адаптора равными между собой , тогда

Для сходимости процессов необходимо выполнения условия

Оно будет справедливо, если или . Это можно обеспечить соответствующим выбором , например,

. (4.37)

Тогда производная исследуемой функции будет иметь вид:

Из полученного выражения следует, что при ограниченных по модулю значениях отклонений для отрицательной определенности функции и соответственно сходимости процессов необходимо выполнение следующего условия:

, (4.38)

где δ – допустимая динамическая ошибка, 0 < δ << ∞. Выражение (4.38) определяет оценку значений коэффициентов передачи адаптора. С учетом принятых допущений (4.37) «гладкий» алгоритм адаптации имеет вид

в котором значения коэффициентов выбираются согласно выражению (4.38).

Перейдем к рассмотрению релейного алгоритма адаптации (4.21). Известно, что введение релейного элемента повышает быстродействие адаптора. Представим алгоритм адаптации в следующем виде:

(4.39)

Задача состоит в определении и функций l_i. Для ее решения также используем второй метод Ляпунова. Интуитивно понятно, что решение должно зависеть от вида исследуемой функции. Рассмотрим это подробнее. Сначала выберем функцию

производная которой в силу уравнений системы (4.41) имеет вид:

Пусть выполняется равенство тогда

Как и в предыдущем случае примем , в результате чего имеем

(4.40)

Потребуем выполнения равенства

Оно достигается, если l_i удовлетворяют условию

(4.41)

Подставим l_i из (4.41) в (4.39) и (4.40), тогда релейный алгоритм настройки коэффициентов запишется в виде

(4.42)

а производная исследуемой функции -

Отсюда следует, что требование отрицательной определенности производной выбранной функции выполняется, если коэффициенты передачи адаптора выбирать из условия (4.38).

Далее рассмотрим функцию в виде квадратичной формы относительно координатного рассогласования

(4.43)

Производная данной функции с учетом выражения

и алгоритма адаптации (4.41) определяется следующим образом

Для упрощения исследования примем тогда

С помощью l_i обеспечим выполнение равенства то есть

(4.44)

Учитывая полученные условия (4.44), полная производная исследуемой функции приводится к следующему виду:

(4.45)

Допустим справедливо соотношение норм функций тогда для доминирования знакоопределенной составляющей выражения (4.45) необходимо, чтобы коэффициенты алгоритма адаптации удовлетворяли условию (4.38). В результате релейный алгоритм адаптации, полученный с помощью функции (4.43) имеет вид