Баланс комплексных мощностей

В цепи переменного синусоидального тока сумма комплексных мощностей всех комплексных сопротивлений равна сумме комплексных мощностей источников электрической энергии.

Формализованная запись баланса комплексных мощностей имеет вид

                               .

Комплексная мощность - го сопротивления

                                        

Комплексная мощность  - го источника ЭДС

                                                  

Комплексная мощность  - го источника тока

                                                   

Правила согласования направлений токов и напряжений на элементах цепи иллюстрируется ниже.

      

Пример расчета простейших электрических цепей в режиме гармонических колебаний

Дано

                    R, L

решение в буквенных обозначениях

 

 

  

 

комплексная схема замещения

Расчет ЭЦ при числовых значениях

                                           В                Ом                      Гн

                         Гц

Решение

                           

                                                                                  

                                                                            1/с

                                                    Ом

 

 

переход от комплексов к синусоидальным функциям

 

векторная диаграмма тока и напряжений

                       

 

 

Резонансные режимы в цепях синусоидального тока

Понятие  резонансного режима

Пусть к двухполюснику, содержащему реактивные элементы, приложено синусоидальное напряжение и через него протекает синусоидальный ток. Возможен случай, когда фазы тока и напряжения совпадают. Такой режим работы двухполюсника называется резонансным.

Примечание к определению. Наличие резисторов в двухполюснике возможно, но не обязательно. Двухполюсник должен содержать как катушки, так и конденсаторы. При наличии одних только катушек (или одних конденсаторов) резонансный режим невозможен.

Рассмотрим основные признаки резонансного режима, начиная с условия

                                            .

Эквивалентное реактивное сопротивление двухполюсника равно нулю

                                             .                               

Комплексное сопротивление равно эквивалентному активному сопротивле-нию

                                         .

Комплексное сопротивление двухполюсника равно его полному сопротивлению

                                              .

Эквивалентная реактивная проводимость равна нулю

                                               .                                             

Комплексная проводимость равна эквивалентной активной проводимости и равна полной проводимости:

                                             .

Реактивная мощность двухполюсника в резонансном режиме равна нулю

                                              .

Комплексная мощность равна активной мощности и равна полной мощности:

                                          .

Признаки считаются определяющими в том смысле, что они эквивалентны определению  резонанса. Некоторые из них чаще всего используются для определения условий возникновения резонансных режимов в конкретных двухполюсниках.

Резонанс напряжений

 

В резонансном режиме цепи (последовательный колебательный контур)

                       .

Эта цепь может быть настроена в резонанс изменением индуктивности катушки, или емкости конденсатора, или частоты приложенного напряжения. В частности, при постоянных параметрах цепи резонанс наступает при частоте

                                     .                                             

Эта частота называется резонансной.

Векторная диаграмма токов и напряжений для резонансного режима получается как частный случай диаграммы, построенной  для цепи с последовательным соединением элементов R, L, C.  По условию резонанса

                          , , , .

Поэтому на диаграмме

, .

Векторная диаграмма тока и напряжений для резонансного режима

цепи

В резонансном режиме в цепи  напряжения на катушке и конденсаторе равны по величине и отличаются по фазе на  (находятся в противофазе). Этот режим называется резонансом напряжений.

В резонансном режиме полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению, соответственно ток принимает максимальное значение

                                               

(при условии, что действующее значение входного напряжения поддерживается неизменным).

Если параметры цепи таковы, что в резонансном режиме , то напряжение на реактивных элементах во много раз больше напряжения на резисторе и напряжения источника. Цепь  в резонансном режиме может быть использована для усиления напряжения ().

 

 

Резонанс токов

 

В резонансном режиме в цепи с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора выполняется условие

                        .

Резонанс наступает при частоте источника питания

                                                                      

(если параметры реактивных элементов остаются неизменными).

 

Векторная диаграмма токов и напряжения для цепи

с параллельным соединением элементов , ,

 

Векторная диаграмма токов и напряжения для резонансного режима является частным случаем диаграммы, построенной для произвольно выбранного режима параллельной цепи.

По условию резонанса

                      , , , .

Поэтому на диаграмме

                      , .

В резонансном режиме в цепи с параллельным соединением идеальной катушки и конденсатора их токи равны по величине и отличаются фазами на . Этот режим называется резонансом токов

В резонансном режиме полная проводимость рассматриваемой цепи минимальна и равна активной проводимости:

                     , .

Поэтому входной ток в резонансном режиме минимален

                                          

(при условии, что действующее значение входного напряжения поддерживается неизменным, а изменение режима достигается регулированием частоты напряжения, или индуктивности катушки, или емкости конденсатора).

Если рассматриваемая цепь питается от источника синусоидального тока и ее параметры в резонансном режиме таковы, что , то ток в реактивных элементах во много раз больше тока в резисторе и равного ему тока источника. Можно говорить, что происходит усиление тока (при малом токе источника токи в катушке и конденсаторе велики).

 

 

Определение резонансной частоты двухполюсника

Сопротивления реактивных элементов зависят от частоты протекающих в них токов:

                                        , ,

поэтому реактивное сопротивление любого двухполюсника, содержащего реактивные элементы, является функцией частоты (). В резонансных режимах

                                                             .                              

Условие резонанса представляет собой уравнение, из которого можно найти резонансные частоты двухполюсника, считая известными параметры его элементов. В общем случае это уравнение является нелинейным, оно может иметь несколько решений или не иметь ни одного решения.

Эквивалентная реактивная проводимость двухполюсника, как и реактивное сопротивление, является функцией частоты источника. Условие резонанса

                                                                                                       

можно использовать для определения резонансных частот.

    Резонансные частоты двухполюсника определяются как корни уравнений

                                      или ,

где  - эквивалентное реактивное сопротивление;  - эквивалентная реактивная проводимость двухполюсника.

Пример. Определим резонансную частоту двухполюсника, состоящего из конденсатора и лабораторной катушки, включенных параллельно). Лабораторная катушка обладает индуктивностью , активное сопротивление провода, из которого она изготовлена, равно .

Комплексная проводимость двухполюсника равна

                     .

Реактивная проводимость двухполюсника равна

                                 .

                                           

Параллельное соединение лабораторной катушки и конденсатора

 

Приравняв ее к нулю, получаем условие резонанса

                                   .

Решение  невозможно, так как оно соответствует постоянному току, а в цепях постоянного тока резонанса не бывает. Последнее уравнение приводится к вырожденному квадратному уравнению

                                         ,

его положительный корень равен

                                                                       (отрицательный корень  не имеет физического смысла).

При параллельном включении идеальной катушки и конденсатора резонансная частота двухполюсника согласно формуле  равна

                                .

В случае, когда используется лабораторная катушка с активным сопротивлением , резонансная частота двухполюсника снижается:

                                .

При достаточно большом активном сопротивлении катушки под корнем в формуле получается отрицательная величина, и резонанс становится невозможным ни на какой частоте.

 

Условие передачи максимальной мощности от источника к приемнику    

 

Для упрощения анализа активный двухполюсник представим эквивалентным генератором с комплексной ЭДС  и эквивалентным сопротивлением , а пассивный двухполюсник эквивалентным комплексным сопротивлением . Будем считать, что параметры источника  и  фиксированы, а параметры приемника  и  можно регулировать.

                 Электрические схемы источника и приемника

 

Полное сопротивление рассматриваемой цепи равно

                              .

Активная мощность приемника равна

                       .                         

При , очевидно, . При увеличении активного сопротивления приемника его активная мощность будет увеличиваться и, возможно, достигает максимума. В точке максимума должно выполняться условие

                                                      .

Продифференцируем формулу по переменной  и производную приравняем к нулю:

                     .

После простых алгебраических преобразований получаем, что

                                  .

Активная мощность приемника максимальна при выполнении двух условий:

1) активные сопротивления источника и приемника равны ();

2) эквивалентное реактивное сопротивление цепи равно нулю (), и в цепи установлен резонансный режим.

 Оба эти условия можно записать в виде одного комплексного равенства

                                                        .

Максимальная активная мощность поступает из источника в приемник, если комплексное сопротивление источника равно комплексному сопряженному сопротивлению приемника. Этот режим электрической цепи называется согласованным.

Проблемы коэффициента мощности

В электроэнергетических системах большой мощности повышение коэффициента мощности приемников () имеет большое экономическое значение.

Пример. Пусть к трансформатору, установленному в заводском цеху, полная мощность которого равна кВА, подключаются станки, на каждом из которых смонтированы электродвигатели общей мощностью кВт.

Если на станках установлены идеально хорошие двигатели с коэффициентом мощности , то в цеху можно установить 100 станков:

,

где  - полная мощность хороших электродвигателей на одном станке.

Если на станках установлены необыкновенно плохие двигатели с коэффициентом мощности , то в цеху можно установить только 50 станков:

,

где  - полная мощность плохих электродвигателей из расчета на один станок.

Количество электродвигателей (и станков) на предприятиях ограничивается полной мощностью источников электрической энергии, имеющихся в наличии, и уменьшается при ухудшении коэффициента мощности приемников. Повышение коэффициента мощности приемников электрической энергии позволяет увеличить количество оборудования на предприятиях и получить дополнительную продукцию; прибыль от реализации этой продукции (кроме прочих выгод) окупает расходы на повышение коэффициента мощности.

 

Повышение коэффициента мощности активно индуктивных приемников с помощью конденсаторов

Любой электродвигатель переменного тока является активно - индуктивным приемником. Он преобразует электрическую энергию в механическую работу, и относительно небольшое количество потребляемой электрической энергии расходуется на нагрев двигателя. Любой электродвигатель представляет собой систему катушек с магнитными сердечниками и не может работать без реактивной мощности, то есть без обмена энергией с источником тока. Простейшая схема замещения электродвигателя содержит резистор, с помощью которого учитывается потребление электрической энергии, и идеальную катушку, которая позволяет учесть требуемую реактивную мощность.

Если включить конденсатор параллельно электродвигателю, то при таком включении конденсатора напряжение на электродвигателе не изменяется (сохраняются условия нормальной работы двигателя) и цепь может быть настроена в резонанс, (то есть коэффициент мощности может быть доведен до единицы). Рассмотрим подробнее вопрос о повышении коэффициента мощности системы электродвигатель плюс конденсатор путем регулирования емкости конденсатора.

Построим векторную диаграмму токов и напряжений для цепи с параллельным включением катушки и конденсатора.Вектор напряжения, которое одинаково для двигателя и конденсатора, отложим вверх по оси мнимых (чтобы векторная диаграмма оказалась в первом квадранте комплексной плоскости). Ток электродвигателя  имеет активную  и реактивную  составляющие, этот ток отстает от напряжения на угол . Ток конденсатора опережает напряжение на . Складывая векторы токов  и  по правилу многоугольника, получаем ток источника  (по первому закону Кирхгофа).

  Повышение коэффициента мощности активно - индуктивного

    двухполюсника с помощью конденсатора переменной емкости

В случае, если емкость конденсатора относительно невелика, векторы  и  заканчиваются в точке 1. Угол  между входным током и напряжением на двухполюснике заметно меньше угла  для электродвигателя. Коэффициент мощности двухполюсника увеличился по сравнению с коэффициентом мощности двигателя (, ).

Если увеличить емкость конденсатора, ток, протекающий через него, увеличится (). Можно добиться такого увеличения тока , что вектор  и вектор  будут заканчиваться в точке 2. Это резонансный режим, . Ток конденсатора равен реактивной составляющей тока двигателя. Ток источника минимален и равен активной составляющей тока двигателя. Источник обеспечивает электродвигатель только той энергией, которая превращается в механическую работу и рассеивается в окружающем пространстве в виде тепла; двигатель обменивается реактивной мощностью с конденсатором. Ток источника уменьшился; к источнику можно подключить дополнительный приемник, не допуская перегрузки источника.

Если после достижения резонанса токов (когда ) продолжать увеличение емкости конденсатора, то ток конденсатора превысит реактивную составляющую тока двигателя. Векторы  и  на векторной диаграмме будут заканчиваться в точке 3. Легко заметить, что сдвиг фаз между входным током и напряжением на двухполюснике начинает увеличивается, ток источника увеличивается, коэффициент мощности уменьшается. Положительный эффект от включения конденсатора частично утерян.

Для повышения коэффициента мощности активно - индуктивного приемника параллельно ему включают конденсатор такой емкости, чтобы коэффициент мощности составного двухполюсника был близок к единице.