2020-04-07
3405
Содержание материала.
2.1. Понятие величины и ее измерения.
Под величинами мы будем понимать особые свойства объектов или явлений окружающего мира. Величины, характеризующиеся только числовым значением, называют скалярными, а величины, которые характеризуются не только числом, но и направлением, называют векторными.
Простейшие свойства скалярных величин можно свести к следующим:
- скалярные величины могут быть однородными (например, величины площади) или разнородными (например, величины времени и массы).
- любые две величины одного рода сравнимы – либо они равны, либо одна из них меньше (больше) другой;
- величины одного рода можно складывать, вычитать, в результате получится величина того же рода;
- величину можно умножать на действительное число, в результате получится величина того же рода;
- величины одного рода можно делить, в результате получится действительное число.
Величина является одним из основных понятий начального курса математики. Основная задача изучения величин – формирование у детей представления о величине как о некотором особом свойстве предметов или явлений, связанном прежде всего с измерением.
В начальных классах учащиеся получают представление о таких величинах, как длина, масса, объем (вместимость), время, площадь, и о единицах их измерения.
Мерой величины а при выбранной единице измерения е называется действительное число х, такое, что а = х ∙ е. Например, единицей измерения длины может являться метр. Тогда мерой длины, скажем, участка дороги, является число, показывающее, сколько раз метр уложится на данном участке, к примеру, 500 метров.
Системой измерения положительных скалярных величин называется отображение множества величин на множество действительных чисел, при котором выполняются следующие условия:
- существует единица измерения;
- равные величины имеют равные меры;
- если величина равна сумме двух или более величин, то мера суммы равна сумме мер слагаемых.
Например, площадь фигуры.
Согласно Международной системе единиц (СИ) различают основные ипроизводные величины. К основным относят величины, измеряемые с помощью семи основных единиц: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела. Это следующие величины: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества, сила света.
(1 кельвин = -273град., 1 моль- кол-во вещ-ва, содержащегося в углероде массой 0,012кг; 1 кандела- сила света источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540∙1012 Гц).
Такие величины, как площадь, объем, скорость, ускорение и другие считаются производными.
Итак, основной единицей длины является метр. Кроме метра для измерения длины применяются дольные и кратные единицы: км, см, мм, дм, мкм, нм.
Приставки, с помощью которых называют кратные единицы: для получения более мелких единиц: деци, санти, милли (тысячная), Микро (миллионная), нано (миллиардная часть); для записи более крупных единиц используют приставки: гекто (сто), кило (тысяча), Мега (миллион), Гига (миллиард).
Пример1. Сравним величины: а) 12,73 га и 1, 273 км2; б) 4000 л и 4 м3
в) 28 bbl b 4,5 т.
а) Заметим, что 12,73 га и 1, 273 км2 выражают значения площадей, а значит, относятся к однородным величинам, их можно сравнивать. Для этого необходимо выразить их числовые значения в одной и той же единице измерения, например, в м2. Тогда 12,73 га=10000м2∙12,73=127 300 м2;
1,273 км2=1 000 000 м2 ∙ 1,273=1 273 000 м2. Сравнивая, получим:
12,73 га < 1, 273 км2.
б) Обе величины выражают объем, можно сравнить. Выразим в дм2: 4 000 л = 4 000 дм2; 4 м3 = 1000 ∙ 4 = 4000 дм3. Величины равны.
В) Обратим внимание, что 28 баррелей выражают объем (1 баррель=159 л), а 4,5 т – массу. Сравнивать величины разного рода нельзя.
Пример 2. (Самостоятельно). Сравните: а) 20 мин и 0,3 ч; б) 32 ц и 195 пудов (1 пуд =16,38 кг); в) 130 м/с и 46,8 км/ч.
(Решение. а) 0,3 ч = 18 мин, поэтому 20 мин>0,3 ч; б) 32 ц= 3200 кг, 195 пудов = 3194,1 кг, поэтому32 ц >195 пудов; в) 46,8 км/ч = 46,8∙1000:3600 = 13 м/с, поэтому 130 м/с>46,8 км/ч.)
2.2. Зависимости между величинами.
Часто связи между различными свойствами объектов и явлений окружающего мира выражаются в определенных зависимостях между соответствующими величинами.
Рассмотрим, например, тройку величин: цена Ц, количество товара К и стоимость С. Зависимость между этими величинами выражается формулой: С = Ц ∙ К. Очевидно, что при постоянной цене стоимость прямо пропорционально зависит от количества приобретенного товара. Такая зависимость обладает свойством:
- Во сколько раз увеличивается (уменьшается) количество приобретенного товара, во столько же раз при постоянной цене увеличивается (уменьшается) его стоимость.
Аналогично, при постоянном количестве товара стоимость прямо пропорциональна цене. Знание зависимостей часто облегчает процесс решения.
Аналогичная зависимость существует между путем и временем движения при постоянной скорости.
Пример 3. На изготовление 12 костюмов требуется 49,8 м ткани. Сколько таких же костюмов можно сшить из 74,7 м той же ткани?
1 способ.
1) 49,8:12=4,15 (м) – ткани пошло на 1 костюм.
2) 74,7:4,15=18(к)- можно сшить из 74,7 м ткани.
2 способ.
Во сколько раз больше ткани, во столько же раз больше костюмов можно сшить. Поэтому 1) 74,7:49,8=1,5 (раза), 12 ∙ 1,5=18 (костюмов).
Из формулы стоимости следует: К=С:Ц и Ц=С:К. При постоянной стоимости цена и количество товара находятся в обратно пропорциональной зависимости, которая обладает следующим свойством:
-Во сколько раз увеличивается цена, во столько же раз уменьшается количество товара.
Пример 4. 12 тракторов одинаковой мощности могут вспахать поле за 88 часов. Сколько нужно таких же тракторов, чтобы вспахать это поле за 22 часа?
Решение. Во сколько раз уменьшается время работы, во столько же раз нужно взять больше тракторов. 1) 88:22=4(раза), 2) 12∙4=48(тракторов) потребуется.
2.3. Этапы развития понятий натурального числа и нуля.
При измерении скалярных величин в качестве меры величины применяются положительные числа, а чаще – натуральные. Так, только натуральным числом можно измерить количество предметов – столов, комнат и т.д.
Уже в начальной школе учащиеся знакомятся с различными функциями натурального числа. Отвечая на вопрос: «Сколько машин изображено на рисунке?» они имеют дело с натуральным числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, дети используют натуральное число как характеристику порядка и т.д.
Натуральные числа возникли из потребности счета и измерения. Для счета предметов использовали пальцы на руках, мелкие камешки, узелки на веревке и т. д. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из 5 элементов, обозначалось словом «рука», а из 20 предметов – словами «весь человек». Со временем люди научились называть числа, обозначать их, а также выполнять над ними действия. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика» от греческого слова «арифмос», что означает «число». Следовательно, арифметика – это наука о числе.
Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Термин «натуральное число» впервые употребил в V веке римский ученый Боэций в своей книге «О введении в арифметику». При выполнении действий с натуральными числами возникла необходимость в новом числе, не являющемся натуральным, это нуль. Появилось новое множество – целых неотрицательных чисел.
Тема «Системы счисления».
Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы является римская нумерация. В этой системе используются буквы латинского алфавита: I-единица, V-пять, X-десять, L-пятьдесят, C-сто, D-пятьсот, M-тысяча, а правила записи чисел заключаются в следующем: 1) если знак, изображающий меньшее число, стоит после знака, изображающего большее число, то производится сложение чисел:
XXV = 10+10+5=25; MDCL = 1000+500+100+50=1650.
2) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед знаком, изображающим большее число, то производится вычитание:
CDIV = 500-100+5-1=404; MDCL + 1000-100+50-10=940.
Пример 5. Прочитайте числа, записанные с помощью римской нумерации:
а) XXIV б) L I I; в) MMC; г) CMLXIX.
(Ответы: 24; 52; 1900; 969).
В позиционной системе счисления значение каждого символа (цифры) зависит от места (позиции), которое этот символ занимает в записи числа. Из всех позиционных систем наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Позиции в ней называют разрядами и считают разряды справа налево. Первые три разряда объединяются в одну группу и называются первым классом или классом единиц. Три следующих разряда образуют класс тысяч. Затем идет третий класс – класс миллионов, затем класс миллиардов, класс триллионов и т.д.
Пример 6. Прочитайте число и назовите, сколько единиц каждого разряда содержится в числе: а) 50 208; б) 10 698 500 770 032.
Любое натуральное число, записанное в десятичной системе, можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: 5 126 073=5∙106+1∙105+2∙104+6∙103+7∙10+3; числа 1; 10; 102; 103;104;105;106 и т.д. называются разрядными единицами.
В десятичной системе с числами можно выполнять действия сложения, вычитания, умножения и деления. Действия производятся в соответствии с их алгоритмами. При сложении и умножении действуют переместительный и сочетательный законы (коммутативный и ассоциативный, используется также распределительный (или дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.
Рассмотрим, например, алгоритм сложения.
8 609 + 342 = (8∙103+6∙102+9) + (3∙102+4∙10+2) =8∙ 103+(6∙102+3∙102)+4∙10+(9+2) = 8∙ 103+ 9∙102 +4∙10+10+1=8∙ 103+ 9∙102 +5∙10+1=8951.
Коротко сложение записывают «столбиком»: 8 609
+ 342
8 952
В качестве основания системы счисления может быть принято любое натуральное число р ≥ 2.
Рассмотрим, например, четверичную систему счисления. В этой системе 4 цифры: 0; 1; 2; и 3. Первые три числа выглядят: 1;2;3, четвертое число 10, пятое 11; 6-е 12, 7-е 13, 8-е 20, 9-е 21 и т.д.
Таким образом, число 14 в четверичной системе счисления выглядит как 324.
(Читается три-два в четверичной системе счисления).
Составим таблицу чисел в 6-ричной системе счисления: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12;13…
Если числа записаны в одной системе счисления, то их можно складывать, вычитать, умножать и делить, пользуясь теми же алгоритмами, что и в десятичной системе. Числа также можно представлять в виде суммы разрядных слагаемых, при этом разрядными единицами будут степени основания системы счисления.
Например, 63 0478=6∙84+3∙83+0∙82+4∙8+7.
Пример 7. Вычислите: 5 0347+4 6527.
Сначала составим таблицу чисел в 7-ричной системе: 1;2;3;4;5;6;10;11;12;13;14;…
5 0347
+ 4 6527
13 0167.
2.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Для перевода числа из одной позиционной системы в другую можно указать два способа.
Способ деления. Для перевода числа из р-ичной системы счисления в n-ичную нужно выполнить деление с остатком данного числа на новое основание n, затем полученное неполное частное снова разделить на n и т.д., пока не получится частное, меньшее n. Последовательность полученных остатков, взятая в обратном порядке, даст нам искомую запись числа в новой системе. Деление при этом производится в старой р-ичной системе. Способ деления обычно применяют при переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с другим основанием.
Пример 8. Переведите число 285, взятое в десятичной системе счисления, в четверичную систему.
_ 285 | 4
28 |_ 71 | 4
_5 _ 4 | 17 | 4
4 31 16 |4 | 4
1 28 1 4 | 1
3 0
Следовательно, 285 = 101314.
Пример 9. Переведите число 895 в семеричную систему.
(Ответ: 895 = 24167).
Способ умножения. Для записи числа, записанного в какой-либо системе счисления, в десятичную, обычно используют следующий способ: разложим число по разрядным единицам и найдем числовое значение этого разложения в десятичной системе.
Пример 10. Переведите число 10 2123 в десятичную систему.
Представим число в виде суммы разрядных слагаемых:
10 2123 = 1∙34+0∙33+2∙32+1∙3+2, выполним в десятичной системе действия, указанные в правой части равенства. Получим: 10 2123 = 104.
Пример 11. Переведите число 111 1012 в десятичную систему счисления.
(1∙25+1∙24+1∙23+1∙22+0∙2+1= 61).
Пример 12. Сравните числа: 7458 и 1 3324.
(Решение. 7458 = 485, 1 3324 = 126).
Пример 13. Найдите основание х системы счисления, если а) 32 = 52х, б) 165=433х.
(5∙х+2=32, х=6; 4∙х2+3∙х+3=165, 4 х2+3х-162=0, D=2601=512, х= 6, х=-6,75 не удовлетворяет условию, что основание может быть только натуральным числом).
Особое значение имеет двоичная система, т.к. она часто применяется в информатике.
Пример 14. Запишите числа в двоичной системе счисления: 29, 50, 140, 235.
(7012; 110 0102; 10 001 1002; 1 110 1012).
Карточка по теме «Понятие величины и ее измерения. Системы счисления».
Пример1. Сравним величины: а) 12,73 га и 1, 273 км2; б) 4000 л и 4 м3
в) 28 bbl b 4,5 т.
Пример 2. (Самостоятельно). Сравните: а) 20 мин и 0,3 ч; б) 32 ц и 195 пудов (1 пуд =16,38 кг); в) 130 м/с и 46,8 км/ч.
Пример 3. На изготовление 12 костюмов требуется 49,8 м ткани. Сколько таких же костюмов можно сшить из 74,7 м той же ткани?
Пример 4. 12 тракторов одинаковой мощности могут вспахать поле за 88 часов. Сколько нужно таких же тракторов, чтобы вспахать это поле за 22 часа?
Пример 5. Прочитайте числа, записанные с помощью римской нумерации:
а) XXIV б) L I I; в) MMC; г) CMLXIX.
Пример 6. Прочитайте число и назовите, сколько единиц каждого разряда содержится в числе: а) 50 208; б) 10 698 500 770 032.
Пример 7. Вычислите: 5 0347+4 6527
Пример 8. Переведите число 285, взятое в десятичной системе счисления, в четверичную систему.
Пример 9. Переведите число 895 в семеричную систему.
Пример 10. Переведите число 10 2123 в десятичную систему.
Пример 11. Переведите число 111 1012 в десятичную систему счисления
Пример 12. Сравните числа: 7458 и 1 3324
Пример 13. Найдите основание х системы счисления, если а) 32 = 52х, б) 165=433х.
Пример 14. Запишите числа в двоичной системе счисления: 29, 50, 140, 235.
«ПОНЯТИЕ ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ»
3.1. Условия и требования задачи.
Кроме различных понятий, величин, предложений, доказательств в математике есть задачи. Эти задачи сформулированы на естественном языке, поэтому их называют текстовыми или сюжетными. Задача описывает какое-либо явление, ситуацию, т.е. задача является словесной моделью явления. В задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики. Обычно в задаче существует требование дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.
Таким образом, в каждой задаче есть условие задачи или утверждения, и есть требования задачи.
Задача 1. Сформулируйте условия и требования задачи.
Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420м. Когда они встретились, первая пробежала на 60м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30с?
Условия задачи:
- Две девочки бегут навстречу друг другу.
- Движение они начали одновременно.
- Расстояние, которое они пробежали вместе, - 420м.
- Одна девочка пробежала на 60м больше, чем другая.
- Девочки встретились через 30с.
- Скорость движения одной девочки больше скорости другой.
Требования задачи:
1. С какой скоростью бежала первая девочка?
2. С какой скоростью бежала вторая девочка?
По отношению между условиями и требованиями различают:
а) определенные задачи – в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований;
б) недоопределенные задачи – в них условий недостаточно для получения ответа, т.е. задача с недостающими данными;
например, задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной.
в) переопределенные задачи – в них имеются лишние условия;
например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопределенной – в ней содержится лишнее условие.
Уточним теперь смысл термина «решение задачи». Обычно этим термином обозначают два понятия: 1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи; 2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем различными методами.
Требования в задаче формулируются двумя способами: вопросительный способ (сколько, с какой скоростью и т.д.) и повелительный (найти или найдите).
Задача 2. Сумма двух чисел равна 199. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 61.
1) Сформулируем условие и требования.
2) Является ли задача определенной?
3) Каким способом формулируется требование в задаче?
3.2 Методы и способы решения задач.
Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.
Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование посредством выполнения арифметических действий над числами (по действиям). Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами, отличающимися логикой рассуждений.
Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (реже неравенство).
Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что задачу можно решить различными алгебраическими способами.
Некоторые задачи можно решать как арифметическим, так и алгебраическим методами.
Решим задачу 2 алгебраическим и арифметическим методами.
Арифметический:
1) 199-61=138 – сумма двух чисел без разницы между ними.
2) 2) 138:2=69 – одно из чисел.
3) 69+61=130 – другое число.
Ответ: 69 и 130.
Алгебраический: Обозначим за х меньшее из чисел, тогда х+61 – большее число. Т.к, сумма этих чисел равна 199, то составим уравнение: х+(х+61)=199, х=69, х+61=130.
Ответ: 69 и 130.
Решим задачу 1 используя три метода – арифметический, комбинированный и алгебраический.
Арифметический метод.
4) 420-60=360(м) – пробежали девочки без разницы в 60м;
5) 360:2=180(м) – пробежала вторая девочка;
6) 180+60=240(м) – пробежала первая девочка;
7) 180:30=6(м/с) – скорость второй девочки;
8) 240:30=8(м/с) – скорость первой девочки.
Ответ: 8м/с и 6м/с.
Алгебраический метод.
Обозначим через х(м/с) скорость первой девочки, а через у(м/с) скорость второй девочки. Тогда за 30с первая девочка пробежала (30х)м, а вторая(30у)м. Зная, что вместе они пробежали 420м, то составим уравнение 30х+30у=420. Зная, что первая девочка пробежала на 60м больше, чем вторая, составим второе уравнение 30х-30у=60. Итак, имеем систему уравнений: 30х+30у=420,
30х-30у=60.
Решая ее (легче способом сложения) получим х=8, у=6. Значит, скорость первой девочки была 8м/с, а второй 6м/с.
Комбинированный метод.
Обозначим через х(м) расстояние, которое пробежала вторая девочка до встречи, тогда первая девочка пробежала расстояние (х+60)м. Так как до встречи они пробежали вместе 420м, то составим и решим уравнение (х+60)+х=420. Решая уравнение, получим х= 180. Значит, первая девочка пробежала 180+60=240(м). Но чтобы ответить на требование задачи, нужно выполнить следующие действия:
1) 180:30=6(м/с) – скорость второй девочки;
2)240:30=8(м/с) – скорость первой девочки.
Ответ: 8м/с и 6м/с.
3.3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения.
Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы:
- Анализ задачи.
- Поиск плана решения задачи.
- Осуществление плана решения задачи.
- Проверка решения задачи.
В реальном процессе решения задачи названные этапы не всегда имеют четкие границы и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений решающего. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все указанные этапы, а знание приемов их выполнения делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.
1. Анализ задачи.
Основное назначение этого этапа – понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения между ними. Анализ задачи направлен на ее требования.
При анализе задачи используются несколько приемов. Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если задать вопросы и ответить на них:
О чем задача, т.е. о какой ситуации идет речь в задаче, какими величинами характеризуется процесс?
Что требуется найти в задаче?
Что известно о названных величинах?
Что неизвестно?
Что является искомым?
Большую помощь в решении задачи оказывает другой прием – перефразировка текста задачи. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Часто при этом происходит разбиение текста на смысловые части. Перефразированный текст часто бывает полезно записать с помощью краткой записи условия, схематического чертежа или таблицы, схемы, рисунка и т.д.
Этап. Поиск и составление плана решения задачи.
Назначение этого этапа: установить связь между данными и искомыми объектами, наметить последовательность действий. На этом же этапе выбирается метод решения задачи – арифметический или алгебраический.
3 этап. Осуществление плана решения задачи.
Назначение данного этапа – найти ответ на требование задачи, действуя по намеченному плану. Если мы решаем задачу арифметическим способои, то записываем действия либо с вопросами, либо с пояснениями каждого действия.
Если же решаем задачу алгебраически, то составляем и решаем уравнение или систему уравнений.
4 этап. Проверка решения задачи.
Назначение данного этапа – установить правильность или ошибочность выполненного решения. Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.
Другой прием проверки правильности решения задачи является ее новое решение другим методом. (Если решали арифметическим, то перерешать алгебраическим. Если ответы совпадают, то считаем, что решили верно).
3.4. Решение текстовых задач.
Задача 3. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и встретились через 5 часов. Один из них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определите скорости автомобилей.
- Анализ. Условия. Требования. Схематический чертеж. Таблица.
| S,км | V,км/ч | t,ч | |
| 1 автомобиль | Всего 600 км | ? на 16 больше | 5 |
| 2 автомобиль | ? | 5 |
Арифметический метод.
1) 600:5=120(км/ч)- общая скорость,
2) 120-16=104(км/ч)- общая скорость без разницы в 16 км,
3) 104:2=52(км/ч)- скорость второго авт.
4) 52+16=68(км/ч)- скорость первого.
Ответ: 52 км/ч,68 км/ч.
Алгебраический метод.
| S,км | V,км/ч | t,ч | |
| 1 автомобиль | 5(х+16) | Х+16 | 5 |
| 2 автомобиль | 5х | Х | 5 |
5(х+16)+5х=600, х=52(км/ч)- скорость второго,52+16=68(км/ч)-…
Задача 4.
Арифметически:
1) 360:12=30(км/ч)- скорость катера по течению реки,
2) 360:15=24(км/ч)- скорость против течения,
3) 24+30=54(км/ч)- удвоенная собственная скорость,
4) 54:2=27(км/ч)- собственная скорость катера,
5) 135:27=5(ч)- время, за которое катер проплывет 135 км.
Ответ: 5 часов.
Алгебраически:
Пусть х км/ч- собственная скорость катера, а у км/ч- скорость течения. 12(х+у)=360 – по течению, 15(х-у)=360 – против течения, решаем систему, получим х=27 (км/ч)- собственная скорость катера.
135:27=5(ч)- пройдет 135 км по озеру.
