Карточка для работы в аудитории по теме «Множества»

1. Р – множество натуральных чисел, больших 7, но меньших 14. Перечислите элементы множества Р. Какие из чисел 13; 10; 7; 5; 28; 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Ответ запишите с помощью знаковÎ и ∉.

2. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них верные:

а) 100ÎN; в) -12∉ N; д) 102∉ R; ж) -7,3ÎR; и) 0 Î N;

б) -8 Î Z; г) 5,36ÎQ; е) √2 Î Q; з) ¾ ∉ N; к) 0Î R.

3. Перечислите элементы следующих множеств:

а) А – множество нечетных однозначных чисел;

б) В – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

в) С – множество двузначных чисел, дающих при делении на 11 остаток 3;

г) D – множество натуральных чисел, меньших или равных 8.

4. Изобразите штриховкой на координатной прямой следующие множества чисел: а)А={х| х < 3}, б)В = {х| х ≥-5}, в)С = {х| -2,5<х<0}; г)К={х| 13≤х≤17}.

5. Найдите пересечение множеств А и В:

а) А={a, b, c, d, e, f}, В={b, e, f, n};

б) А={26; 39; 5; 58; 17; 81}, В={17; 26; 58};

в) А={х| х ≥-7}, В={х| х < 3}.

6. Найдите пересечение множеств А и В:

а) А={8; 16; 24; 32; 40}, В={10; 15; 20; 25};

б) А={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, В={1; 2; 3; 4; 5};

в) А – множество различных букв в слове «математика», В – множество различных букв в слове «геометрия».

7. Найдите объединение множеств А и В:

а) А={8; 16; 24; 32; 40}, В={10; 15; 20; 25};

б) А={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, В={1; 2; 3; 4; 5};

в) А={х| -3 ≤ х ≤ 5}, В={х| 0 < х < 8}.

8. А={3; 6; 9; 12; 15; 18}, В={6; 12; 18; 24}, С={18; 24; 30; 36}.

Найдите сначала множество D, равное пересечению множеств А и В, а затем объединение множеств D и С.

9. Даны множества: А={х| -2<х<3}, В={х| 0≤х≤5}, С={х| х>1}. Найдите (А∩В)UС.

10. Найдите разность множеств А и В, если

а) А={1; 2; 3; 4; 5; 6}, В={2; 4; 6};

б) А={1; 2; 3; 4; 5; 6}, В=∅;

в) А={1; 2; 3; 4; 5; 6}, В={2; 4; 6; 3; 5; 1};

г) А={1; 3; 5; 7; 9}, В={5; 7; 9; 11}.

11. Укажите характеристическое свойство множества:

а) А={а,е,и,о,у,э,ю,я,ы};

б) В={78; 77; 76; 75; 74};

в) С={111; 222; 333; 444; 555; 666; 777; 888; 999};

г) D={3; 6; 9};

д) Е={1;4;9;16;25;36;49;64; 81};

е) F={16;31;46;61;76;91}.

ТЕМА «ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ».

1.1. Элементарные и составные высказывания.

Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать: истинно оно или ложно.

Пример 1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

а) Будьте счастливы!

б) Закон всемирного тяготения открыл Ньютон.

в) Когда Вы будете в Париже?

г) Число 5 является простым.

д) Число 12 является простым.

е) 3>5.

ж) Сумма углов треугольника равна 180◦.

(Решение. а) и в) не являются высказываниями, т.к. это не повествовательные предложения. б,г,ж являются истинными, а д и е ложными высказываниями).

Истинные предложения обозначают символом И, а ложные – символом Л.

Высказывания будем обозначать строчными буквами латинского алфавита: p, q, r, s и т.д.

Отрицанием высказывания p называют высказывание p, истинное, когда p ложно и ложное, когда p истинно.

p	p
И	Л
Л	И

Конъюнкцией (и) двух высказываний p и q называют высказывание p۸q, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкцию часто записывают без знака: pq.

p	q	p۸q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнкцией (или) двух высказываний p и q называют высказывание p۷q, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание p или q.

p	q	p۷q
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Импликацией (если, то) двух высказываний p и q называют высказывание p→q, ложное тогда и только тогда, когда р истинно, а q ложно.

p	q	p→q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Эквиваленцией (тогда и только тогда) двух высказываний p и q называют высказывание p↔q, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны одновременно.

p	q	p↔q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

С помощью логических операций из элементарных высказываний образуются более сложные – составные высказывания.

Пример 2. а) Число 28 четное и делится на 7.

б) Число 14 не делится на 4.

в) Число 28 делится на 7 или на 4.

г) Если углы вертикальные, то они равны.

В этих примерах составные высказывания образованы при помощи логических связок – «и», «не», «или», «если, то».

Если высказывания обозначать буквами, то, используя знаки операций и скобки, можно составлять формулы логики высказываний.

Например, высказывание p- «Гремит гром», а высказывание q – «Моросит дождь». С помощью знаков логических операций составим из этих элементарных высказываний составные и запишем соответствующие формулы: а) «Гремит гром и моросит дождь», формула p۷q.

б) «Не гремит гром и не моросит дождь», формула (p۷q).

в) «Если гремит гром, то моросит дождь», p→q.

г) «Гром гремит тогда и только тогда, когда моросит дождь», p↔q.

1.2. Таблицы истинности для формул.

Пример 3. Составьте таблицы истинности для формул: а) (p۷q) ۷ q;

б) (p۸q) ۷(p۸q).

Решение. а)

p	q	p۷q	q	(p۷q) ۷ q
И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	И
Л	И	И	Л	И
Л	Л	Л	И	И

б)

p	q	p	p۸q	q	p۸q	(p۸q) ۷(p۸q)
И	И	Л	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	Л	И
Л	Л	И	Л	И	Л	Л

1.3. Доказательство равносильности формул.

Две формулы называют равносильными, если при любых наборах переменных и знаков операций их значения истинности совпадают.

Пример 4. Доказать равносильность формул: a)(p→r) ۷(q→r) б) (p۷q)→r.

p	q	r	p→r	q→r	(p→r) ۷(q→r)	p۷q	(p۷q)→r
1	2	3	4	5	6	7	8
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	Л	Л	Л	И	Л
И	Л	И	И	И	И	Л	И
И	Л	Л	Л	И	И	Л	И
Л	И	И	И	И	И	Л	И
Л	И	Л	И	Л	И	Л	И
Л	Л	И	И	И	И	Л	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Истинность формулы а) представлена в столбце 6, а истинность формулы б) в столбце 8. Сравнивая эти столбцы, убеждаемся, что они совпадают, а это означает, что формулы равносильны.

1.1. Решение задач.

Пример 5. Составьте таблицу истинности для формул: а) (Х۷У)^(У۷Х);

б) (Х۷У)۷(Х۷У).

Решение: а)

Х	У	Х	Х۷У	У	У۷Х	(Х۷У)^(У۷Х)
И	И	Л	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	Л
Л	И	И	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И

б)

Х	У	Х۷У	Х	У	Х۷У	(Х۷У)۷(Х۷У)
И	И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	И

Пример 6. Даны высказывания: р – «Пришла весна» и q – «Птицы возвращаются с юга». Сформулируйте высказывания, соответствующие формулам: а) p۷q; б) p^q; в) p→q; г) p↔q; д) p↔q.