Общие сведение о работе усилителей бегущей волны в стационарном режиме

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется внедрению различных информационных технологий в образовательный процесс. Математические модели и современные методы вычислительной математики позволяют максимально приблизить вычислительные эксперименты к реальным. Это позволяет, не проводя дорогостоящих физических экспериментов, предсказывать различные физические явления. В данном пособии представлены лабораторные работы, где используется компьютерный эксперимент. В ряде случаев удается существенно упростить физическую и математическую модели. В этом случае при проведении практических (или лабораторных) занятий студентам предлагается самостоятельно реализовать предложенную модель в системе MathCad. Но не всегда удается существенно упростить модель, тогда самостоятельное написание и отладка кода студентами займет слишком много времени, и не получится провести лабораторную работу в пределах двух академических часов (одной пары). Для этих лабораторных работ был создан пакет в среде  Matlab. Дружественный интерфейс позволяет студентам полностью сосредоточиться на изучении физических процессов, не занимаясь написанием и отладкой кода.

Необходимо отметить, что  виртуальные лабораторные работы должны дополнять, а не заменять работу на реальном оборудовании. Во-первых, при выполнении виртуальных лабораторных работ не развиваются навыки проведения эксперимента. Если заменить все реальные лабораторные работы виртуальными, то на выходе мы получим специалиста, который не может работать с реальными объектами. Во-вторых, реальные лабораторные работы выполняются бригадами по 2-3 человека, формируя у студентов умение работать в коллективе. Виртуальные же лабораторные работы выполняются индивидуально, и такого навыка на формируют. Поэтому полное замещение реальных лабораторных работ виртуальными недопустима. Тем не менее, компьютерный эксперимент часто является совершенно необходимым дополнением натурного эксперимента. Например, если речь идет о процессах, протекающих в нанометрических объемах и в очень короткие сроки (нано-, пико- и фемтосекунды).

Материалы к лабораторной работе «Моделирование усилителя бегущей волны в стационарном режиме»

1. Цель работы – моделирование усилителя бегущей волны в стационарном режиме

Общие сведение о работе усилителей бегущей волны в стационарном режиме

Основные сведения об оптическом квантовом усилителе бегущей волны

Квантовые усилители служат для того, чтобы увеличить напряженность поля электромагнитной волны, поступающей на их вход. В квантовом усилителе электромагнитные колебания усиливаются при взаимодействии с квантовой системой частиц (атомов, молекул, ионов) за счёт вынужденного излучения [1]. Если число актов вынужденного излучения, вызванного падающей волной, превышает число актов вынужденного поглощения, то среда усиливает эту волну. Для этого в среде должно быть достигнуто состояние инверсной заселенности. Инверсная заселенность энергетических уровней - неравновесное состояние среды, при котором число частиц (атомов, молекул), находящихся на верхних энергетических уровнях, т. е. в возбужденном состоянии, больше, чем число частиц, находящихся на нижних энергетических уровнях. Основная проблема создания квантовых усилителей – получение состояния рабочего вещества с инверсией населенностей. В настоящее время предложено и осуществлено очень много способов создания инверсии населенностей в различных веществах, находящихся в твердом, жидком и газообразном состоянии, и на их основе осуществлены разнообразные квантовые усилители, работающие в широком диапазоне волн. Квантовые усилители можно разделить на два класса, различающихся главным образом диапазоном частот, а следовательно, и типами активных сред и также областями применения, - это квантовые усилители СВЧ-диапазона  и усилители оптического диапазона. В данной работе исследуется квантовый усилитель оптического диапазона.

Оптический квантовый усилитель (ОКУ) представляет собой устройство, позволяющее усиливать когерентное излучение оптического диапазона. Возможны два режима работы ОКУ: бегущей волны (без обратной связи) и регенеративный (с положительной обратной связью, создаваемой с помощью открытых резонаторов). В данной работе исследуется ОКУ бегущей волны

Пусть плоская волна падает на лазерный усилитель длиной l вдоль оси z.

Уравнение переноса излучения в активной среде  записывается в виде

где I(z,t) – интенсивность излучения; t – время, z – координата, вдоль которой распространяется излучение; b – коэффициент нерезонансных потерь; a(I) – зависящий от интенсивности коэффициент усиления.

В стационарном случае интенсивность не меняется со временем и первый член в уравнении переноса будет равен нулю. Тогда уравнение переноса принимает вид 

 где  Здесь a0 – линейный коэффициент усиления (коэффициент усиления слабого сигнала), Is  – интенсивность насыщения).

Под интенсивностью насыщения понимают интенсивность, при которой коэффициент усиления падает в два раза по сравнению с линейным. Действительно, при I = Is  коэффициент a(I) =a0/2.

Таким образом, уравнение переноса можно записать как 

Проанализируем это выражение. Рассмотрим три случая для различных диапазонов интенсивностей:

1. I << Is.

В этом случае I/ Is << 1. Тогда 1 + I/ Is ~ 1 и

Решив это уравнение с начальным условием I (z = 0) = I 0, I 0 – интенсивность, падающая на вход увилителя, получим

Таким образом, при малых уровнях сигнала наблюдается экспоненциальный рост интенсивности вдоль координаты (линейное усиление).

2. I >> Is.

В этом случае I/Is >> 1. Тогда 1 + I/Is ~  I/Is  и

При значительных входных сигналах рост выходной энергии замедляется и, начиная с некоторой интенсивности, вообще прекращается. Стационарное значение интенсивности излучения достигается, когда все, что может излучить единичный отрезок длины активного вещества в режиме полного насыщения, поглощается за счет нерезонансных потерь в том же отрезке. Этот баланс поглощенной и излученной энергий приводит к исчезновению дальнейшего усиления по мере распространения вдоль усилителя. Если интенсивность достигает предельного значения I пред, то это значит, что дальнейшего усиления нет и dI/dz = 0. Тогда можем записать:

Отсюда получаем, что . Таким образом, в усилителе бегущей волны предельная выходная интенсивность  определяется а конечном счете интенсивностью насыщения, коэффициентом линейного усиления и коэффициентом нерезонансных потерь.

3. I ~ I_S.

Проинтегрировав уравнение переноса  по длине l, получим:

 (3)

Это уравнение в общем виде не имеет аналитического решения и решается только численно.

3. Моделирование распределения интенсивности вдоль оси распространения излучения в среде MathCad.

При интенсивностях, сравнимых с интенсивностью насыщения, задача может быть решена только численно. Для этой цели можно численно решать дифференциальное уравнение (2) или алгебраиуравнение (3). Мы будем решать дифференциальное уравнение (2).

Введем безразмерную переменную P=I/I_S  . Тогда уравнение (2) можно переписать в виде

Уравнение (4) является однородным дифференциальным уравнением (ОДУ) первого порядка. Для нахождения распределения величины I  вдоль оси распространения необходимо решить уравнение (4) с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши. Начальные условия в данном случае – это значение I  на входе в усилитель. Маткад имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения ОДУ. Каждая из этих функций предназначена для численного решения дифференциального уравнения. В результате решения получается матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором множестве точек (на некоторой сетке значений). Для каждого алгоритма, который используется при решении дифференциальных уравнений, Маткад имеет различные встроенные функции.. Ниже будет описано, как решить ОДУ, используя функцию rkfixed.

: Функция rkfixed (y,x1,x2,n,F) возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями в векторе у. Правые части системы должны быть записаны в символьном векторе F, решение на интервале от x1 до х2 находится за фиксированное число шагов n.

Ниже приведен пример решения ОДУ первого порядка в среде Маткад с помощью встроенной функции rkfixed