Гладкие паверхности в трехмерном евклидовом прастранстве. Первая квадратичная форма паверхности

Опр. Под поверхностью в пространстве б\понимать произвольную вектор-функцию 2-ух скаляр. переменных .

Опр.   Поверхность наз. гладкой, когда её коорд. ф-ции имеют необходимое кол-во частных производных.

Опр. Поверхность наз. регулярной, когда  лин. незав. для любой пары (u,v) з W

(u(t),v(t)) кривая у W

Через любую точку поверхности проходят 2 координатные кривые.

Утв. Векторы  есть касательные векторы к координатным кривым поверхности, которые проходят через точку (u₀,v₀)

Док-во:

(Когда поверхности регулярные, то разным точкам W м\соответ-ть одинаковые точки поверхности. За счет уменьшения W м\добиться, чтоб разным соответств. разные.)

«Внутренняя геометрия поверхности»(Гаус)

Изменение поверхностии б\наз. изгибом, когда сохраняется длина каждой кривой на поверхности. Совсем разные поверхностии в прастранстве м\иметь одинаковую внутреннюю геометрию.

Вывод 1-ой квадратичной

(Когда 2-е паверхностии имеют = первые кв. ф-мы, то их внутренние геометрии совпадают, при этом сами поверхности м\б разными. Первая кв. ф-ма зависит только от кривизны. С помощью первой кв. ф-мы м\подщитать угол между кривыми на поверхности, площадь части поверхности.

Когда коорд. прямые пересекаются под углом 90, то F=0.

Пример: параллели и меридианы.)