Сист. акс. Гильберта 3-хмерн евклид пр-ва и его сравнение с сист. акс. Вейля

Основные абъекты: точки, прямые, плоскости.

Основные отношения: принадлежности (точки могут принадлежать прямым и плоскостям), порядка (для каждых 3-х точек прямой один из их нах-тся между 2-мя другими), кангруэнтности (отрезков, углов). Определение  всего этого не рассматр. Все, что необходимо об этом знать перачисляется в акс-х. Всяго 20 акс., 5 групп.

I гр.(8)-акс. инцидентносци

1. Для каждых 2-х точек А і В сущ. единственная прямая, которой принадлежат А і В.

2. Для каждых 3-х точек А, В і С, которые не принадлежат одной прямой сущ. Единств. пл-ть, которой принадлежат А,В,С. На каждой пл-ти нах. хотя бы 1 точка.

3. Когда  2 пл-т имеют общую т. А., то они имеют по меншей мере ещё 1 общую т. В.

II гр.(4)-акс. парядка

1. Для каждых 2-х точек А і В на прямой АВ сущ. по меншей мере 1 т.С такая, что В нах. между А і С. Вводится понятие отрезка.

2. Аксиома Паша:     Пусть  АВС - 3 точки, кот. не принадлежат одной прямой, и а -прямая в пл-ти АВС, кот. не проходит ни через одну из точек А,В,С. Когда при этом прямая а прах. через 1 из точек отрезка АВ, то она должна пройти либо через 1 из точек отр. АС, либо через 1 из точек отр. ВС.  Вводится панятие палуплоскости, луча, угла, треугольника.

III гр.(5)-акс. кангруэнтности. Речь идет о кангруэнтности отрезков и кангр. углов.

1. Для каждого отрезка АВ и каждого луча [0,х) всегда м. найти т. В` этого луча, такую что отр. АВ кангр-ный отр-ку ОВ`.

2. Пусть даны выпуклый угол АОВ, луч [О`,А`) и полупл-ть П`, ограниченная прямой О`А`, тогда ў полупл-ти П` сущ. Единств. луч [О`,В`) такой, что <АОВ кангруэнтен <А`О`В`/

IV гр.(2)-акс. непрерывности.

1. аксиома Архимеда

Пусть  АВ и СD - произвольные отр., тогда на прямой АВ сущ. конечное число точек А₁,А₂..,А_n, таких что отрезки АА₁,АА₂,..,А_n-1A_n- кангр-ны отрезку CD и при этом т.В нах. между А_n-1 и А_n.

V гр.(1)-акс. параллельности

 Пусть а - произвольная прямая, А - точка не принадл. этой прямой. Тогда в пл-ти, определенной прямой а ит. А, сущ. не больше 1-ой прямой, кот. прох. через т.А и не пересекает прямую а. Сущ-ние такой прямой м. док-ть.