Взаемное расположение прямой и плоскасти

Пусть в простр-ве зафиксирована некот. декартава прямоуг. с/к. Пусть также π₁ и π₂2 разл. плоскости, заданные общими ур-ями: А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 и по прямой l. Т.к. пр l представлена как пересеч пл-тей π₁ и π₂, то она опред сист 2 ур-ний: (1)

Очевидно, система (1) определяет пр в том случае, когда пл π₁ и π₂не //-ны и не совпадают. Следовательно, система (1) определяет прямую в том, и только в том случае, когда коэфф А₁, В₁, С₁, одного из уравн сист одновременно не пропорциональны соотв-щим коэфф А_2,В_2,С₂ др.

Заметим, что ч/з кажд пр. проходит много разл пл-тей. Очевидно, что сущ-ет много возможностей выбрать из них какие-нибудь две. Иными словами, всякую прямую можно определить двумя уравнениями пучка α (А₁х+В₁у+С₁z+D₁)+β(А₂х+В₂у+С₂z+D₂)= 0 (α и β - произвольно взятые не равные нулю числа) многими способами.

При реш задач более удобным явл специальный вид ур прямой в пространстве.

Определение. Любой ненулевой вектор пространства, перпендикулярный к прямой l, называется нормальным вектором прямой, а любой ненулевой вектор пространства, параллельный прямой l, – направляющим вектором прямой.

Выведем ур. пр. l, проходящей ч/з данную т. M₁(x₁, y₁, z₁) и имеющей заданный направляющий вектор (l, m, n). Заметим, что произвольная точка M(x,y,z) лежит на прямой l тогда и только тогда, когда векторы и (a₁,a₂,a₃) коллинеарны, (векторы, леж-ие на параллельных прямых (ілі на одной і той же прямой)) т.е при выполнении условия (2)

Пусть прямая задана в пространстве своими каноническими уравнениями (2). Обозначим буквой t каждое из отношений (2), которые участвуют в канонических уравнениях =t (3)

Заметим, областью изменения параметра t является вся вещественная ось: -∞<t<+∞.

Проведя преобразования х-х₁=a₁t, у-у₁ =a₂t, z-z₁ =a₃t, окончательно получим: (4 ) – параметрические уравнения прямой.

Можно кратко записать так:

В пространстве возм 3 случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая принадлежит плоскости - ;

2) прямая и плоскость пересек в точке - ;

3) прямая и плоскость не пересекаются;

Рассмотрим эти случаи:

Пусть пр. задана след. ур-ями , пл-ть общим ур-ем

Найдем общие точки L и П:

1. , то 2 случая

1) , 0=0, – прямая принадлежит пл-ти

Если , то направляющий вектор (а₁, а₂, а₃) пр. l ортогонален нормальному вектору (А,В,С) плоскости П.

2) - нет решения, т.е. прямая и плоскость не пересекаются

- единств. решение, т. е. в одной т., (т.е. Аа₁+Ва₂+Са₃ ≠ 0 (5))

Обратно, если выполняется условие (5), то прямая l не параллельна плоскости π, а значит, пересекает ее под определенным утлом.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность. Прямая будет перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости .

Т. обр., – условие перпендикулярности прямой и плоскости

Утверждение: прямая параллельна плоскости -

Если пр , то вып-ся только условие Аа₁ + Ва₂ + Са₃ = 0 (6), и обратно, если вып-ся усл (6), то направляющий вектор пр. ортогонален нормальному вектору пл-ти П прямая параллельна плоскости.

Аа₁ + Ва₂ + Са₃ = 0 – условие параллельности прямой и плоскости.

7. Поняцие проективной плосости

В трохмерн. эвклід. пр-ве R₃, , расм. связку Р₂(S) с центром у т. S - мн-ва всяких прямых і пл-тей, которые проходят через т.S. будзем гаварыць, что прямая а інцидентна пл-ти , или пл-ть інцидентна прямой а. .

при центральном проектировании прямыя переходят в прямыя,или паралельнасть прямых не сохраняется, не сохраняются углы и прямая отношение 3-х точек ().

Расм. пл-ть R₂, которая не праход. через центр связки S. В дальнейшем под R₂ б. понимать пункты і пр. этой пл-ті.

Расм. адлюстр которое кажд. т. А ставит в соответствие пр. связки SA, а кожн пр - пл-ть связки SA. – перспективное переутв. пл-ті R_2.

Важно, что сохр. Отношение инциндентности: (1)

Отр. не является взаимооднозначным, потому что пл-ть связки //-ная пл-ці R₂ не имеет прообраза. Не имеют прообраза и все пр. все, которые инциндентны пл-ті . Такие пр. зсвязки наз особыми (их много), а пл-ть – особ. пл-тью (одна).

отр. стало бы взаимно однозн, если б мы договорились, что кожн особая пр пересекает пл-ть R₂ в бесконечно удаленной п., а особая пл-ть пересяк R₂ на -ца удаленнай пр. При этом разн особые пр зсвязки адпав-ць розн -ца удалённым п. R₂.

Проективная пл-ть – пл-ть R₂ вместе с присоединенными к ней няуласными эл-тамі – няуласнымі п. ,і няуласнай пр. а. Пры При этом возникает взаемно однозначное растояние , которое на собственные эл-ты дейничае, як і , а няуласныя эл-ты преводит у особ пр. і особ пл-ть . Расстояние. наз. перспективным.

Учитывая (1), естественные требовать, каб расстояние. тоже сохраняло отношение инциндентности: (2) для собственных і не собственных эл-тау . Неабходныя ул-ці эл-тау :

1. Каждый не собств т. инцинд не собств пр. .

2. Каждый собствен. пр инцинд некоторому несобств т. и только одному.

(на рис. , - векторы)

Рассм связку і у R₃ аф. репер . Каждая пр. связки определяется главным вект . который определяется тройкой сваих координат (x₁, x₂, x₃) в базисе . В итоге опред. тройка чисел (x₁, x₂, x₃).

вместо вектара , м.б. выбираем вект , , то тройка вызн. з точностью да лікавага множніка. (x₁, x₂, x₃) – праект. коорд. пр. связки . Будем писаць .

Рассм праект пл-ть , - яе персп. расстояние. Т.я. взаемнооднозначное, то калі і , то п.А м. прыпісаць проект коорд. . Т.ч. на возникает проект. сист. коорд.

Т 1 (без д-ва): Е₁, Е₂, Е₃, Е₀ – произвольные. 4 т. , никоторые 3 з которых не инцинд. одной пр. Тогда на еденств сіст праект коорд, в которой Е₁(1:0:0), Е₂ (0:1:0), Е₃(0:0:1), Е₀ (1:1:1).

E₁, E₂, E₃, E₀ – проект. репер пл-ті.

А, В, С, D – розн. п , інцинд-ные одной пр. Іх коорд-ыя слупки - . Из рис видно, что .

(АВСD)= – сложн.отношение п. А, В, С, D.

8. Проективное преобразование плоскасти

Проективная пл. – пл. R₂ вместе с присоединёнными да яе несобств эл-тамі – несобств п. ,і несобств пр. а. При этом возн. взаемооднозначное отн , которое на собств эл-ты дейнічеет, как і , а несобств эл-ты переводит в особ пр. і особ пл-ць . Расст. наз. перспективным.

Считая (1), естественно потребовать, чтоб расст. тоже сохраняло отношение инцинд: (2) для собств і несобств эл-тау . необходимые св-ва эл-тов :

1.Каждый не собств т. инцинд не собств пр. .

2.Каждый собствен. пр инцинд некоторому несобств т. и только одному.

(на рис. , - векторы)

E₁, E₂, E₃, E₀ – проект. репер пл-ті.

А, В, С, D – розн. п , інцинд-ные одной пр. Іх коорд-ыя слупки - . Из рис видно, что .

(АВСD)= – сложн.отношение п. А, В, С, D. (АВСD)= – складаная адносіна п. А, В, С, D.

Проект. переутв. пл-ті вызн. з дап. 2 проект. реперау E₁, E₂, E₃, E₀ і E₁’, E₂’, E₃’, E₀’. Пры этом перевод. п. у п. , которые в др. реперы имеет теже проект. коорд., которые имеет М в первом репперы.

Т 2 (без д-ва): Каждая проект. преобр. пл-ті взаимооднозначно, прямыя переводит в прямыя и сохраняет сложные отношение 4 п. верно і адв. сцв.

Мн-во всех проект преобразований пл-ті образует группу преобразований .

Проективная геометрия пл-ті изучает св-ва фигур , которые сохр при всех проект. преобразованиях . Простое отношение 3 т. в проект геометрии не изучается, потому что она сохраняется при проект преобразовании, а сложн отнощение – изучается.

9. Св-ва паралельных проекций. Изображения плоских фигур в //-най проекциі

При центральном проектированнии пр перех. в пр и сохр. сложн. отношение 4-х точек. Но не сохр. // пр и простое отношение 3-х точек. Это делает выполнение рисунка довольно сложным. Чтоб избежать это вместо центр. разгл. паралельнае проектированние.

В этом случае центр проекции - бесконечно дальний пункт, а праектавальныя прямые параллельные друг другу. Паралл. проектирование - частный случай центр. проектирования. При этом сохр. паралельность прямых і простае отношение 3-х точек. В школе использует именно // проект-ем. П: F П П (М)=SM П=M₀

П - центральное проектаванние; SM – проективная прямая; F₀ – проекция F; F – оригинал; П – плоскасть проекцый.

Изображение фигуры - это ее проекция с точностью до подобия. (Не путать изображение с проекцией!) Т.ч. проекцыя явл. частным случаем изображения.

При парал. проектированнии и все проект. прямыя паралельны. Прямая перех. в прямую, т.як 2 плоскасти пересек. по прямой. При парал. проект. парал-е прамые перех. в парал. прямыя, т.як 2 парал. плоскасти перес. третей парал-ой прямой.

Т-ма. Когда при парал. проект. известный изображения 3-х пунктов общего положения плоскости , то можно построить изображение произвольного пункта плоскости .